1.Коло, вписане в трикутник АВС, ділить сторону АС на відрізки 3 см та 5 см, а сторону ВС на відрізки 5 см та 7 см. Знайдіть периметр трикутника АВС.2.Коло, вписане в рівнобедрений трикутник EМК, ділить бічну сторону ЕМ на відрізки EA i АМ так, що ЕA:АM-4:7. 3найдіть сторони трикутника EМК, якщо його периметр дорівнює 120 см. 3. Вершини А i В трикутника АВС, описаного навколо кола, віддалені від точки дотику на відстані, одна з яких більша за другу на 6 см. Вершина С віддалена від точки дотику кола зі стороною АС на 12 см. Знайдіть сторони цього трикутника, якщо його периметр дорівнює 98 см. Прикрепленные​

1 случай. Точка A лежит внутри окружности с центром в точке O или на окружности. Докажем, что середины хорд, проходящих через A, образуют окружность с диаметром AO. Если точка M лежит на этой окружности, то угол OMA прямой как вписанный и опирающийся на диаметр, а тогда M - середина хорды, проходящей через A и M. В обратную сторону так же просто. 

2 случай. Точка A лежит вне окружности. Тогда середины хорд, проходящих через A, образуют часть окружности с диаметром AO, лежащей внутри нашей. Доказательство аналогично. 

Рисунок - во вложении.

Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то

для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.

Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.

Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).

Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).