пряма АС проходить через точку А кола із центром О. - вопрос №177017891 от Trololo2289878 27.05.2020 14:16

Question

Геометрия: пряма АС проходить через точку А кола із центром О. Відомо що кут. АОВ= 108°, кут ВАС=54°. Доведіть що. що Пряма АС-. дотична до даного кола.

Trololo2289878 · Answer

Нехай дано коло (О; R), АС - дотична, С - точка дотику.
Доведемо, що ∟AOB = 2∟BAC.
ОА - радіус, проведений в точку дотику, тоді за властивістю дотичної ОА ┴ AC, ∟OAC = 90°.
Розглянемо ∆АОВ - рівнобедрений (АО = ОВ = R), тоді ∟OAB = ∟OBA - х.
∟OAB + ∟OBA + ∟AOB = 180°; ∟AOB = 180° - 2х;
∟OAC = 90°. ∟OAC = ∟OAB + ∟BAC; 90° = х + ∟BAC; ∟BAC = 90° - х.
Отже, ∟AOB = 180° - 2х = 2(90° - х). ∟BAC = 90° - х; ∟AOB = 2∟BAC.