1. Ребро BN піраміди NABC перпендикулярне до площини основи АВС і дорівнює 10 см.Двогранний кут, утворений гранями АВС і NAC, становить 600, а площа грані NAC дорівнює 36 см2.
Знайдіть: 1) площу грані АВС ( у см2),
2) об’єм піраміди NABC ( у см3).
2. Чи можна розв’язати попередню задачу нічого не знаючи про площу ортогональної
проекції?

Сумма углов тре-ка равна 180°  ⇒

180°-(64°+58°) = 58°  значит тре-к равнобедренный, т.к. два угла у него равны, а основанием яв-ся ML

Высота - это перпендикуляр ⇒ ΔMPK и ΔMPL  прямоугольные

Углы находим из суммы угло тр-ка

ΔMPK:  ∠KMP = 180°-(90°+64°)=26°

ΔMPL:  ∠LMP = 180°-(90°+58°) = 32°

△DOG= △HOF  равны по 1 признаку равенства тр-ков , т.к. у них

∠DOG = ∠HOF , как вертикальные, а стороны DO=OF и GO=OH по условию, т.к.  О - середина

Т.к. ∠DOG вертикален с  ∠HOF , то ⇒ ∠HOF = ∠DOG = 112°

ΔHOF :  сумма углов  Δ  =180°  ⇒ ∠OFH = 180°-(112°+24°) = 44°

∠OFH накрест лежащий с ∠ODG  ⇒  ∠ODG=∠OFH=44°

Объяснение:

А) ∠ОАВ=∠ОСД=90°.
В четырёхугольнике АОСД ∠АОС+∠АДС=360-(∠ОАД+∠ОСД)=360-(90+90)=180°. 
В четырёхугольнике АОСД суммы противолежащих углов равны, значит он вписанный.
доказано.
б) АО⊥АВ и ВО1⊥АВ, значит АО║ВО, значит ∠АОО1+∠ВО1О=180°.
АО=СО, АД=СД, значит ΔАДО=ΔСДО, значит ДО - биссектриса угла АОС.
Аналогично ДО1 - биссектриса угла ВО1С.
ДО и ДО1 биссектрисы односторонних углов, значит ∠ОДО1=90°.
В тр-ке ОО1Д ДС²=ОС·О1С=3·5=15.
В тр-ке СОД ОД=√(ОС²+ДС²)=√(9+15)=√24=2√6.
В тр-ке СОД радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
R=ОД/2=√6 - это ответ.
Действительно, радиус описанной окружности около четырёхугольника равен радиусу описанной окружности вокруг любого из треугольников, образованных из его вершин.