Дан прямоугольный параллелепипед A,B,C,D,A1,B1,C1,D1. Сторона CD = 5см, BC=5cm, CC1 = 3cm
Чему равен угол между прямыми:
а)BС и A1B1
б)BD и A1B1

Развернутый ∠ АОВ  содержит половину градусной меры окружности и равен 180°. 
∠АВN - вписанный и опирается на дугу АN, равную 2∠ABN=72°
 ∠NMB также вписанный и опирается на дугу NB
Дуга NB=AOB-NА=180°-72°=108°
∠NMB  равен половине дуги, на которую опирается, или, иначе, половине центрального угла NОB
∠NMB=108°:2=54°
Замечу, что при любом местоположении вершины угла NMB пр ту же сторону диаметра (например, в точке М1 или М2)
 он будет опираться на дугу, равную 108°  и будет равен половине ее градусной меры, т.е. 54°

1) CN=CD/2=BC => △BCN - равнобедренный, углы при основании равны, ∠CBN=∠CNB

∠ABN=∠CNB (накрест лежащие при AB||CD)

∠ABN=∠CBN, BN - биссектриса ∠ABC (делит угол на два равных)

2) Площади треугольников с равной высотой относятся как их основания. Обозначим площади ABK=8x, AKM=MKC=5x, ACK=10x. Площади треугольников с равным основанием относятся как их высоты. Высоты треугольников ABK и ACK относятся как 8:10. Следовательно площади BKP и CKP относятся как 8:10. Обозначим площади BKP=8y, BKC=18y. Площади BKC и MKC относятся как 8:5.

S(BKC)/S(MKC) =18y/5x =8/5

S(BKP)/S(AKM) =8y/5x =8/5 * 4/9 =32/45

Или по теореме Менелая:

CP/PB *BK/KM *MA/AC =1 <=> CP/PB *8/5 *1/2 =1 <=> CP/PB=10/8

CM/MA *AK/KP *PB/BC =1 <=> AK/KP *8/18 =1 <=> AK/KP=18/8

Площади треугольников с равным углом относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

S(BKP)/S(AKM) =BK*KP/AK*KM =8/5 *8/18 =32/45