Із точки яка віддалена від площини на відстань а, проведено дві похилі, які утворюють із площини кути 45 і 30, а між собою - прямий кут. Знайдіть відстань між кінцями похилих До іть

Проведем  перпендикуляры BS1 и MS2. (M - центр   AB)
Обозначим  плоскость  треугольника ABS1-желтым  цветом.            Плоскость β голубым.
Поскольку  прямая AB лежит  в плоскости желтого треугольника,то  все  ее точки  лежат в этой плоскости,а значит  точка  M  тоже лежит  в этой   плоскости.(аксиома 2).
Мы  можем интуитивно заявить что  отрезок MS2  лежит  в плоскости  этого треугольника (Да  это так  ,но  этот факт  требует  доказательства) Итак подтвердим наше предположение:
Прямые  MS2 || BS1  параллельны, как  два перпендикуляра  к одной  плоскости. А  поскольку параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости,то  прямые MS2 и BS1  лежат  в одной плоскости. То  есть  точки S2,M,B,S1 лежат  в одной плоскости. Мы  знаем  что точки M,B,S1 лежат  в плоскости  желтого треугольника. То  поскольку через 3 данные  точки можно провести плоскость и при  том  только  одну. То  они  не могут лежат  в другой плоскости  отличной  от плоскости  желтого  треугольника,иначе это  противоречило  бы первому постулату. А  поскольку вместе с ними  в одной  плоскости весит и точка S2,то  она  тоже  лежит в плоскости треугольника. То  и прямая MS2  лежит  в плоскости  этого  треугольника.
Ну  теперь  все очевидно :MS2 -средняя линия треугольника ABS1,откуда:
MS2=BS1/2=12/2=6 см
ответ:6 cм

В тр-ке АВС АС=40 см, ВМ=15 см К, Р и М - точки касания сторон АВ, ВС и АС соответственно.
В тр-ке АВМ АМ=АС/2=20 см. по т. Пифагора АВ²=АМ²+ВМ²=20²+15²=625,
АВ=25 см.
В тр-ке АВМ по теореме косинусов:
cosА=(АВ²+АМ²-ВМ²)/(2·АВ·АМ)=(25²+20²-15²)/(2·25·20)=0.8
В тр-ке АКМ по т. косинусов:
КМ²=АК²+АМ²-2·АК·АМ·cosA=20²+20²-2·20·20·0.8=160,
КМ=РМ=√160=4√10 см - это ответ.
В тр-ке АВС:
соsВ=(АВ²+ВС²-АС²)/(2·АВ·ВС)=(25²+25²-40²)/(2·25²)=-7/25,
В тр-ке ВКР ВК=ВР=АВ-АК=АВ-АМ=25-20=5 см (АМ=АК так как они касательные из одной точки).
КР²=ВК²+ВР²-2·ВК·ВР·cosВ=5²+5²-2·5²·(-7/25)=64,
КР=8 см - это ответ.