Пусть одна наклонная АВ, а другая АС. Из точки А опустим перпендикуляр АР на плоскость α. Соединим точку Р с точками В и С. Получим два прямоугольных тр-ка АВР с гипотенузой АВ и АСР с гипотенузой АС. Проекция ВР = 27см, а проекция СР = 15см. Большей проекции соответствует и большая наклонная, поэтому
АВ - АС = 6, откуда
АС = АВ - 6. (1)
По теореме Пифагора для тр-ка АВР:
АВ² = АР² + ВР² (2)
По теореме Пифагора для тр-ка АСР:
АС² = АР² + СР² (3)
Подставим (1) в (3)
(АВ - 6)² = АР² + СР²
Преобразуем выражение
АВ² - 12АВ + 36 = АР² + СР² (4)
Вычтем (2) из (4)
- 12АВ + 36 = СР² - ВР²
12АВ = ВР² - СР² + 36
12АВ = 27² - 15² + 36
12АВ = 540
АВ = 45
Из (2) АР² = АВ² - СР²
АР² = 45² - 27²
АР² =1296
АР = 36
ответ: расстояние от точки А до плоскости α равно 36см
Прямоугольная трапеция АВСД: АВ перпендикулярна ВС и АВ перпендикулярна АД.
Чтобы в трапецию можно было вписать окружность, нужно, чтобы суммы противоположных сторон были бы равны : АВ + СД = ВС + АД.
ВС = 10 - малое основание
АВ = а - одна из боковых сторон, а также высота трапеции
Опустим перпендикуляр СР на основание АД. Тогда получим
АР = 10, СР = АВ = а.
Поскольку угол Д (острый угол трапеции) равен 45°, то
РД = СР = а, а СД = СР/sin 45° = a√2/
Таким образом, сумма АВ + СД = ВС + АД может быть записана через а:
а + а√2 = 10 + (10 + а)
а√2 = 20
а = 20/√2 = 10√2
и
АВ = 10√2
ВС = 10
СД = 20
АД = 10 +10√2
Площадь трапеции:
S = 0,5·(ВС + АД)·АВ =
= 0,5·(10 + 10 +10√2)·10√2 =
= (20 +10√2)·5√2=
= 100√2 + 100 =
= 100·(√2 + 1)
ответ: S = 100·(√2 + 1)
