а (5:4:-3) B(-4:-2:0)C(6:-2:4)D(1;0;-4) Знайти довжину вектора АС довижину медиани ВМ скалярний добуток (АВ-2CD)•(2BC+AD) кут миж векторами BC на вектор AB обчислити площу ∆ ABD обчислити об'єм пірамідиDABC.

Биссектриса углов А и Д параллелограмма АВСД пересекаются в точке М, дежащий на стороне ВС. Луч ДМ пересекает прямую АВ в точке N. Найдите периметр параллелограмма АВСД, если АN=10 СМ

РЕШЕНИЕ

сделаем построение по условию

<ADN=<CDN  т.к.  DN - биссектриса <D

(AN)  || (CD)  тогда <AND=<CDN  -скрещивающиеся углы

треугольник  NAD  - равнобедренный  (<AND=<АDN  )

|AN|=|AD\=10см

(АМ)  - биссектриса, высота, медиана 

по теореме Фалеса параллельные прямые (AD) || (BC) отсекают  на сторонах <AND

пропорциональные отрезки   , т.к. | NM |=| MD | следовательно |NB| = |АB| =|AN| / 2=10/2=5см

ПЕРИМЕТР  параллелограмма AB+BC+CD+DA=5+10+5+10=30 см

ответ   периметр  30см

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301