5. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом с. Биссектриса угла
В пересекает катет АС в точке м. Известно, что AM = 6корень3см, а
уголBAC = углуМВС. Найдите площадь треугольника ABC.
[6]​

Объяснение:

∠BAC = ∠МВС (дано), значит по сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС

∠А + 2·∠АВМ = 90°.

Тогда ∠АВМ = 30°, ∠А = 30° и ∠АВС  = 60°.

Треугольник АМБ - равнобедренный с основанием АВ и по теореме косинусов

АВ² = АМ²+ВМ² - 2·АМ·ВМ·Cos(∠АМВ).

∠АМВ = 120° => Cos120 = Cos(180-60) = -Cos60.

Cos120 = -(1/2). Тогда АВ² = 216 + 108 = 324.

АВ = √324 = 18см, ВС = (1/2)АВ = 9 см.

Sabc = (1/2)·АВ·ВС·Sin(∠АВС) или

Sabc = (1/2)·18·9·(√3)/2 = (162√3)/4 = 40,5√3 cм².