Дан параллелограмм ABCD На продолжении диагонали АС за вершины А и С отмечены точки М и N соответственно так, что АМ = CN Докажите, что MBND –
Доказываешь, что два треугольник AMD и CNB:АМ = CN по условию,АВ=СВ, т.к. это стороны параллелограмма.По первому признаку равенства треугольников: AMD = CNBИз того же равенства треугольников получаешь, чтоПроверенные ответы содержат наджную, заслуживающую доверия информацию, оценнную командой экспертов. На «Знаниях» вы найдте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы — это лучшие из лучших.Диагональ ВD исходного параллелограмма АВСD осталась прежней, диагональACс каждой стороны увеличилась на одинаковую длину. Точка пересечения диагонали ВD и диагоналиМNосталась прежней и делит их, как и в исходном четырехугольнике, пополам.
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник параллелограмм.
ВР/РЕ = 15/2.
Объяснение:
По теореме Менелая в треугольнике СВЕ:
(СМ/МВ)*(ВР/РЕ)*(ЕА/АС) = 1. =>
Подставим известные значения:
(1/3)*(ВР/РЕ)*(2/5) = 1. =>
ВР/РЕ = 15/2. Это ответ.
А если теоремы не знаете, докажем ее.
Проведем ЕН параллельно ВС.
ΔСМА∼ΔЕНА по двум углам (угол CАМ — общий, а ∠НЕА=∠ВСА как соответственные при параллельных прямых СВ и ЕН и секущей СЕ). Следовательно:
СM/ЕН=АM/АН=АС/АЕ =>
ЕН=СM⋅АЕ/AС. (1)
ΔBMP∼ΔHPE по двум углам (∠BPM=∠HPE как вертикальные, а ∠PEH=∠PBM как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и HE и секущей BE).
Следовательно:
BM/EH=MP/HP=BP/PE =>
EH=BM⋅PE/BP. (2)
Приравняем (1) и (2) и разделим обе части на левую:
СM⋅АЕ/AС = BM⋅PE/BP => (СM⋅АЕ⋅BP)/(AC⋅BM⋅PE) = 1 или
(СM/МВ)⋅(ВР⋅PЕ)/(ЕA⋅АС) = 1.
Что и требовалось доказать.
