Здорово условие сформулировано. То, что отрезок перпендикулярен катету, означает, что он параллелен другому катету, а это может быть, только если биссектриса делит катет в том же отношении, что и точка пересечения медиан делит медианы. То есть 2/1, считая от вершины острого угла (не того, из которого выходит биссектриса, конечно). Но полученное отношение, по свойству биссектрисы равно отношению гипотенузы к катету, то есть косинус угла, из которого выходит биссектриса, равен 1/2. Значит, этот угол 60 градусов, а второй - 30.
Радиусы этих окружностей найдем через площадь треугольника.
радиус вписанной окружности
r=S :p , где р=полупериметр треугольника
радиус описанной окружности
R=abc:4S
Чтобы вычислить площадь треугольника, мы должны знать его третью сторону.
Найдем эту сторону по теореме Пифагора через высоту.
Одна часть основания треугольника равна
12²=13²-х²
х²=169-144
х²=25
х=5
Вторая
12²=15²-х²
х²=225 -144
х²=81
х=9
Длина основания треугольника
9+5=14
Теперь найдем площадь треугольника по классической формуле:
S=12*14:2=84 см²
Полумериметр треугольника
(13+14+15):2=42:2=21
Найдем радиус R описанной окружности
R=13*14*15:336=2730:336=8,125 см
Радиус r вписанной окружности
r=S :p
r=84:21=4 см
