Точки A B розміщені по один бік і на однакові відстані від прямою l. знайдіть довжину відрізка AK якщо PB=8​

Грань АА1С1С - квадрат. 

АС по т.Пифагора равна 20. В призме все боковые ребра равны. ⇒ ВВ1=СС1=АА1=АС=20.

По условию боковые ребра пирамиды АВ1СВ равны, значит, их проекции равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около основания АВС. ⇒

Вершина пирамиды В1 проецируется в центр Н описанной около прямоугольного треугольника окружности, т.е. лежит в середине гипотенузы. 

∆ АВС прямоугольный, R=АС/2=10. 

АН=СН=ВН=10. 

Высота призмы совпадает с высотой В1Н пирамиды.

По т.Пифагора 

В1Н=√(BB1²-BH²)=√(20²-10²)=√300=10√3

Формула объёма призмы

 V=S•h где S - площадь основания, h - высота призмы. 

S-12•16:2=96 (ед. площади)

V=96•10√3=960√3 ед. объёма.

1)  и 2) выртуальные
3)
<B +<D =90° (вписанный угол опирающийся на диаметр окружности равен 90). 
 <BCA =<DCA =30° (AB=AC/2  катет =1/2*(длины гипотенузы) ⇒ угол  =30°).
⇒<BCD = 60 °.
<BAC =<DAC = 90° -30° =60° ⇒<BAD =120° .
 <BAD можно и другим путем  :
  <BAD+ <BCD =180°   ; <BAD =180° -<BCD =180° -60° =120°  .

Дуги   AB =60°  (<BAC =дугаAB/2 ⇒дугаAB =2*<BAC =2* 30°=60°) ;
           BC =2* 60° =120° ;
           CD =2* 60° =120° ;
           AD = 2*30° =60°.  
4)Пусть  AB = 18 см ;CA=CB =15 см. 

r==>? ; R==>?
r =S/p  где  p - полупериметр треугольника: p= (a + b + c)/2.
R=a*b*c/4S.
Проведем высоту  из вершины C:   CH ┴  AB ; H∈[AB] ; AH =BH=AB/2 =18 см/2 =9 см.   
Из ΔCHA   по теореме Пифагора  : CH =√(AC² -AH²) =√(15² -9²) =12 (см) .  
* * *  AH =3 *3 ; CH =3 *4 ; CA =3 *5 * * *
S =1/2*AB*CH =AH*CH =9*12 =108  (см²);
r =S/p =108/(15+15+18)/2) =108/(15+9) =108/24 =9*12/2*12 =9/2 =4 1/2 , иначе 4, 5 (см)
R =15*15*18/(4*108) = 15*15*2*9/(4*12*9)=75/8 =9 3/8 ,  иначе  9,375 (см) .
ответ  : 4, 5 см   9,375 см .

Вычисление площади можно было сразу по формуле Герона :
S =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√24*(24 -15)(24-15)(24 -18) =√4*6*9*9*6 =2*6*9 =108 , а
для  r и R не использовать готовые формулы как выше