В треугольнике АВС ∠A=40° , ∠C =120° , АК – биссектриса треугольника АВС, ВК=10 см. Найдите длину отрезка АК. ​

Cм. рисунок и обозначения в приложении
По теореме косинусов
(2√3)²=6²+х²-2·6·х·cos 30°
12=36+x²-6√3·x=0
x²- 6√3·x+24=0
D=108-96=12
x=(6√3-2√3)/2=2√3     или    х=(6√3+2√3)/2=4√3

если х=2√3, то диагональ делит параллелограмм на два равнобедренных треугольника.
Углы параллелограмма 60° и 120°

если х=4√3
то по теореме косинусов ( α -  угол параллелограмма , лежащий против диагонали)
6²=(2√3)²+(4√3)²-2·2√3·4√3 ·cos α      ⇒     36=12+48-48·cosα⇒

cosα=0,5     

α=60°
второй угол параллелограмма 120°
см. рисунок 2
ответ 120° и 60° 

начнем с конца.
3. Так как внешний угол при вершине А равен 120, то угол А будет равен 60, значит угол В равен 30. Поэтому гипотенуза АВ будет равен 2АС, т.к. он лежит напротив угла 30 градусов. Значит, АС+АВ=АС+2АС=18 )=> 3АС=18 )=> АС=6 )=> АВ=12

2. Так как треугольник равнобедренный, биссектриса опущенная из вершины Е является и медианой, и высотой, следовательно KF=16/2=8

угол DEK = 2*43=86 градусов
угол EFD будет равен 90 градусов, по свойству, которое я описал выше

1. Так-с, треугольник равнобедренный, значит угол ВАС=BCA=2y. Угол АВС обозначим за х.

В треугольнике АВD: угол BAD+ABD=180-110=70, т.е. x+y=70

B треугольнике ADC: угол ADC=70, т.к. он смежен углу ADB. Поэтому угол DAC+DCA=y+2y=110 )=> y=110/3

И так как y=110/3, то x=70-110/3 умножаем уравнение на 3 и получим ниже:

 3x=210-110

 3х=100

   х=100/3