Закончи оформление системы координат. Отметьте на ней точки А(0 ;3 ;-1), В(0;- 1;0 ), С (-2; 5 ;6). Определить принадлежность точек координатным осям и плоскостям.

1. Построим отрезки АВ и МР. Рассмотрим получившийся треуг-ик MNP. По условию точки А и В - середины сторон MN и NP. Значит, АВ - средняя линия треугольника MNP, следовательно, она параллельна его основанию РМ:
AB II РМ.
2. Проведем отрезок EF. Рассмотрим треугольники EKF и РКМ. Они подобны по второму признаку подобия треуг-ов: две стороны одного треуг-ка пропорциональны двум сторонам другого треуг-ка и углы, заключенные между этими сторонами, равны. В нашем случае:
- КЕ : КР = 1 : 3 (откуда взялось 3: КР=КЕ+ЕР=1 часть + 2 части=3 части);
- KF : KM = 1 : 3 (точно также КМ=KF+FM=1 часть+2 части=3 части);
- угол К, заключенный между пропорциональными сторонами, - общий.
У подобных треугольников соответственные углы равны: <EFK=<PMK
3. Рассмотрим эти углы. Это соответственные углы при пересечении двух прямых EF и PM секущей КМ. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Т.е.
EF II PM.
4. Выше мы вывели, что РМ II AB, значит EF II АВ. 
Итак, мы доказали, что две стороны четырехугольника ABEF параллельны.
5. Построим отрезок NK. Рассмотрим треугольники NMK и NPK. Здесь ни AF, ни BE не будут являться средними линиями этих треугольников, поскольку точка F не является серединой стороны КМ, так же, как и точка Е - не середина стороны РК. Значит, они непараллельны основанию KN, которое является общим для обоих треугольников. Они непараллельны и между собой. 
В итоге мы получаем, что четырехугольник ABEF имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Значит это - трапеция. 

Дано: (рисунок)

Найти: AB

Решение: Опустим на сторону BC вершину AD, проходящую через точку A.

Так как вершина является перпендекуляром, то углы ADC и ADB равны 90⁰.

Так как сумма углов треугольника равна 180⁰, найдем углы CAD и DAB:

угол CAD=180⁰-30⁰-90⁰=60⁰

угол DAB=180⁰-90⁰-45⁰=45⁰

Из последнего выражения следует, что треугольник ADB - равнобедренный.

Найдем сторону AD треугольника CAD, пользуясь выражением «в прямоугольном треугольнике катед против 30⁰ равен половине гипотенузы»:

AD=6 см

Так как треугольник ADB равнобеднеррый, то AD=DB

Теперь, найдем сторону AB по теореме Пифагора: