Пусть н-точка пересечения высот треугольника авс, а аа'- диаметр его описанной окружности. докажите, что отрезок а'н делит сторону вс пополам. подсказка: учесть, что ас перпендикулярен а'c и использовать свойства параллелограмма.

Ну, эта задача сама по себе очень простая - CH и A'B перпендикулярны AB, то есть CH II A'B; и точно так же BH и A'C перпендикулярны AC; то есть A'BHC - параллелограмм, а у него диагонали делятся пополам в точке пересечения. 
То есть если M - середина ВС, то М - так же и середина A'H.

Интересно вот что. В треугольнике A'AH получилось, что AM и ОН - медианы, то есть они делятся точкой их пересечения G в пропорции 1/2, считая от О. То есть 2*OG = GH; При этом AM - медиана треугольника АВС, и G расположена как раз в точке пересечения медиан треугольника АВС (то есть на расстоянии AG = 2*GM, то есть у треугольников АВС и А'AH совпадают точки пересечения медиан.).
Это означает, что в произвольном треугольнике точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с центром описанной окружности и делит это отрезок в пропорции 1/2, считая от центра описанной окружности. 
Это - знаменитая теорема Эйлера. :))) - между прочим ... а прямая ОН называется прямой Эйлера :)))