В окружность вписаны правильный треугольник и квадрат. Периметр треугольника 9 в корне 3. Найдите периметр квадрата.

Так если один из углов при основании = 60 градусов, то второй угол при основании тоже равен 60 градусов (св-ва р.б. трапеции), вторая бокова сторона равно 8 см (опять же св-во р.б. трапеции)
проводим высоту вн из угла в (допустим трапеция авсд) , получаем прямоугольный треугольник, т.к. мы знаем два угла а=60градусов, и вна равен 90 градусов, то угол авн=30 градусов, значит ан равен 5 см, тк (в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы),если мы проведем из угла с высоту ск, то получим равный авн треугольник, следовательнокд равен 5 см, значит основание равно 8 + 10= 18
теперь периметр 8 + 18 + 10х2 =  46 см
проверьте на всякий случай, возможны опечатки , писала второпях :) 

Пусть этот треугольник будет АВС.
 угол АВС=147°, угол ВАС=27°.
Высоты АК и МВ продолжаются и пересекаются в точке О. 
Угол КВА - смежный углу 147° и равен 
180°-147°=33°
В прямоугольном треугольнике АКВ угол КАВ=90-33=57
В прямоугольном треугольнике ОАМ угол ОАМ=КАВ+ВАМ
угол ОАМ=27°+57°=84°
В этом же треугольнике угол МОА равен 90°-84°=6°
Тупой угол при точке пересечения высот, как смежный с ним, равен 
180°-6°=174°
-----------------
Пока писала решение, нашла еще одно, покороче.
Угол ВСА равен разности между суммой всех углов треугольника и суммой двух известных:
Угол ВСА=180°-(27°+147°)=6°
В прямоугольном треугольнике АКС угол КАС=90°-6°=84°
Тогда угол АОМ прямоугольного треугольника АОМ равен 90°-84°=6°,
а тупой угол, смежный с ним, равен
180°-6°=174°