1 вариант
1. Дано изображение

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть  лежат на параллельных прямых. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
Признаки:
1) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
2)Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом. 
3) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
1 признак: 
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD. Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
 

Подробно. 

Пусть данный ромб АВСД. 

Высота ВН=12 см, диагональ ВД=13 см.

 Стороны ромба равны. 

Диагональ ромба делит его на два равных треугольника.   

∆ АВД=∆ СВД.

   Проведем  в равнобедренном ∆ АВД высоту АМ к стороне ВД и высоту ВН к стороне АД. 

В ∆ ВНД катет НД=5 ( отношение сторон из Пифагоровых троек 5,12,13, можно проверить по т.Пифагора). 

ДМ=МВ=13:2=6,5 см, т.к. АМ высота и медиана равнобедренного треугольника ВАД. 

Прямоугольные ∆ ВНД и ∆ АМД подобны - имеют общий острый угол при Д. 

Из подобия следует: 

АМ:ВН=ДM:ДH. 

АМ•5=12•6,5

AM=15,6 см

S ∆ АВД=АМ•ВД/2

S АВСД= 2 S ∆ АВД. 

S АВСД=АМ•ВД=15,6•15=202,8 см²