1. Верно ли утверждение: "Четырехугольник является правильным, если все его углы равны между собой"?
б) нет, так как должны быть равны и стороны, иначе это может быть прямоугольник.
2. Все стороны многоугольника являются хордами окружности. Можно ли утверждать, что многоугольник описан около окружности?
б) нет, этот многоугольник вписан в окружность.
3. Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника?
б) 120° (360° : 3) .
4. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого сумма всех его углов равна 540°?
Сумма углов многоугольника равна 180°(n - 2), где n - количество сторон.
180°(n - 2) = 540°
n - 2 = 3
n = 5
а) 5.
5. Чему равна длина окружности, если ее диаметр равен 50 см?
С = πd = 50π см
а) 50π см.
6. Из круга, радиус которого равен 20 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 90°. Чему равна площадь оставшейся части круга?
Дуга оставшейся части круга:
α = 360° - 90° = 270°
Sсект = πR² · α / 360°
Sсект = π · 400 · 270° / 360° = 300π см²
а) 300π см²
Точка пересечения высот никак не является центром описанной окр-ти. Центром этой окр-ти является точка пересечения срединных перпендикуляров. Точки Н и О совпадают только для правильного(равностороннего) треугольника. Так что с условием все в порядке.
Вложения не проходят. Поэтому подробное решение высылаю по почте. Здесь отмечу ключевые моменты.
Решаем методом координат. Ось Х направим по стороне АС данного треугольника. Находим координаты ключевых точек:
А(0;0), В(8/3; (4кор5)/3), С(9; 0)
Находим уравнения необходимых прямых:
АВ: у = (кор5)х/2,
ВС: у = (-4кор5/19)х + (36кор5)/19,
AD (высота):у = (19кор5)х/20
СЕ (высота): у = (-2кор5)х/5 + (18кор5)/5
Точка Н (пересечение СЕ и AD): (8/3; (38кор5)/15.)
МО (срединный перпенд.): у = (-2кор5)х/5 + (6кор5)/5.
ОК: х = 4,5
Точка О( пересечение ОК и МО): ((4,5; (-3кор5)/5).
ОН = кор(1049/20) = 7,24 (примерно)
ответ: ОН = 7,24
б) Находим координаты вершин ортотреугольника EFD:
Е(4; 2кор5)
F(8/3; 0)
D(80/49; (76кор5)/49)
И находим площадь по формуле через координаты вершин:
S = |(1/2)[(x1-x3)(y2-y3) -(x2-x3)(y1-y3)]| =(304кор5)/147 = 4,62
ответ: S = 4,62
