Два паралелограми ABCD і ABC1D1 лежать у різних площинах. Визначити взаємне розміщення прямих CD і C1D1

Опустим из В перпендикуляр ВН на плоскость α.
Пусть ВН=а 
Δ АВН прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°⇒  
∠АВН =90°-45°=45°.
 Два равных угла  - свойство равнобедренного треугольника.  ⇒ АН=ВН=а
Проведем отрезок НС⊥АН до пересечения с прямой АС. 
Δ АНС прямоугольный, а т.к. ∠НАС=45°, то ∠НСА=45°⇒
Δ ВНС - равнобедренный. 
Соединим В и С
В прямоугольных треугольниках АВН, СВН, АСН - катеты равны а. 
Следовательно, эти треугольники равны, из чего следует равенство их гипотенуз
АВ=ВС=АС. 
Δ АВС - равносторонний, все углы равностороннего треугольника равны 60°⇒∠ВАС=60°, что и требовалось доказать. 

Рассмотрим 2 треугольника АОN и ВОN. Они оба прямоугольные - углы ОАN и ВОN - прямые между касательными и радиусом окружности. Треугольники равны, т.к. ОА=ОВ - радиусы одной окружности, ON - общая. Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и  катету. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны ОА лежит угол АNО, а против стороны ОВ лежит угол ОNВ. Они равны, значит, ON - биссектриса угла АNВ.  А если одни острые углы прямоугольного треугольника равны, то и другие равны. Значит, угол АОN равен углу ВОN. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против угла АОN лежит АN, а против угла ВОN лежит BN. Значит АN равно ВN. Что и требовалось доказать.