Пусть тетраэдр ABCD, длина любого ребра а.
Возможны два случая.
1. Плоскость проходит через середину высоты DE параллельно плоскости АВС. В этом случае вершина D находится с одной стороны плоскости, а вершины А, В, С - с другой. То есть высота тетраэдра DE равна 12. Как связаны длина ребра и высота тетраэдра, я выводить не буду, я это тут делал раз 100.
DE = а√(2/3)
откуда а = 12√(3/2) = 6√6;
2. Противоположные (скрещивающиеся) ребра тетраэдра (то есть не имеющие общих вершин) взаимно перпендикулярны. Можно провести плоскость, параллельную двум таким ребрам, например AC и DB. Чтобы вершины A,C, B и D находились на равном расстоянии от этой плоскости (A и C - с одной стороны, B и D - с другой) плоскость надо провести через середины ребер AD, CD, AB и BC (кстати, в сечении получится квадрат).
Расстояние между скрещивающимися ребрами тетраэдра равно a√2/2 (это отрезок, соединяющий середины АС и DB, он перпендикулярен построенной плоскости и делится ею пополам - докажите! это очень просто). Отсюда 12 = a/√2; a = 12√2;
Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Найдём его угол возле центра окружности по теореме косинусов:
(8(корней из 3))^2 = 8^2 + 8^2 - 2*8*8*cosa
128cosa = 128 - 192 = -64
cosa = -1/2
a = 2п/3
Теперь рассмотрим искомую площадь. Она равна двум площадям фигуры, образованной разностью между сектором окружности радиус-радиус-дуга и треугольником радиус-радиус-хорда. Найдём площадь сектора:
S1 = (п r^2/2)*(a/2п) = (a r^2 )/ (4) = 64 * 2п / (3*4) = 32 п /3
Теперь найдём площадь треугольника. Воспользуемся классической формулой:
S2 = (1/2) * 8(корней из 3) * 8 = 32 корня из 3
Теперь вычитаем из одной площади другую:
S1-S2 = 32 п /3 - 32 корня из 3 = 32(п/3 - 1)
И умножаем эту разность на два: 64 (п/3 - 1)
Получилось некрасивое число, может ошибся в подсчётах, но общий ход решения такой
