<BAC = 30° (150°).
Объяснение:
В прямоугольном треугольнике СЕА косинус угла А равен
CosA = AE/AC.
В прямоугольном треугольнике ADB косинус угла А равен
CosA = AD/AB.
Следовательно, АЕ/АС = AD/AB. => треугольник DAE подобен треугольнику АВС c коэффициентом подобия, равным CosA.
CosA = DE/BC = 3/2√3 = √3 /2.
ответ: угол А равен 30°. (Или 150° для тупоугольного треугольника с тупым углом А).
P.S. Насчет подобия - это теорема, которую, может быть, Вы не проходили. Она справедлива, естественно, для любых треугольников. Но для любознательных привожу все варианты.
После внимательного прочтения задания стало ясно, что цилиндр, основание которого находится за пределами основания пирамиды, прорезает боковое ребро CS и 2 боковые грани АCS и ВCS.
Верхнее основание цилиндра касается всех боковых граней в точках F, G, L.
Так как в основании правильный треугольник, то и в сечении пирамиды на уровне верхнего основания цилиндра, тоже правильный треугольник. Окружность верхнего основания цилиндра вписана в этот треугольник.
Проведём осевое сечение пирамиды и цилиндра перпендикулярно АВ. Получим треугольник CSD, где D - середина АВ.
SD = √(7² - (5/2)²) = √(49 - (25/4) = √171/2.
CD = 5√3/2 как высота правильного треугольника.
Угол SDС - это угол наклона боковой грани АВS к основанию.
Основа решения задачи – в равенстве высот точек касания верхней основы цилиндра граней ABS и CBS (из за симметрии граней CBS и CАS рассматриваем одну).
Н– высота цилиндра, R – радиус основания.
cos SDС = (( 5√3/2)² + (√171/2)²) - 32/(2* (5√3/2)* (√171/2)) = 210/(30√(3*171)) = 7√57/57.
sin SDС = √(1 – (7√57/57)2) = 2√(2*57)/57.
tg SDС = 2√(2*57)*57/(57*7*√57) = 2√2/7.
Точка с высотой, равной Н на грани BCS, отстоит в плане от линии пересечения с плоскостью основания на величину 2R. Найдём тангенс угла наклона грани BCS.
Найдём проекцию высоты этой грани из точки S на основание.
Сначала находим высоту SS1 точки S:
SS1 = SD*sin SDС = (√171/2) * (2√(2*57)/57) = √(3*57)/2) * (2√(2*57)/57) = √6.
Проекция CS на основание равна: CS1 = √(32 – (√6)2) = √(9 – 6) = √3.
Тогда проекция высоты грани BCS на основание равна половине CS1 или (√3/2) (катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы).
Тангенс угла наклона грани BCS равен: tg α = √6/(√3/2) = 2√2.
Записываем равенство высот на гранях: (CD + R)* tg SDС = 2R* tg α.
Подставим данные.
(5√3/2 + R)*( 2√2/7) = 2R*2√2. Приведём к общему знаменателю 7.
5√6 + 2R√2 = 28R√2,
26R√2 = 5√6,
R = 5√6/(26√2) = 5√3/26 ≈ 0,333087.
Прилагаемые рисунки даны:
- один в виде осевого сечения,
- второй в виде общего плана (это вид сверху),
- третий это деталь плана с цилиндром.
