Просто решить:
на рисунке прямые будут параллельны? поясните свой ответ.

Введём обозначения:
- верхнее основание трапеции  - х,
- нижнее основание трапеции    - 3x,
- радиус окружности на вертикальной стороне трапеции - r,
- радиус окружности на наклонной стороне трапеции - R,
- угол наклона боковой стороны трапеции - α.
Так как окружности касаются, то средняя линия трапеции равна сумме радиусов окружностей: r + R = (x + 3x) / 2 = 2x.
Тангенс угла наклона боковой стороны трапеции равен tg α = 2r / (3x - x) = 2r / 2x = 2r / (r + R).
Заменим R = r / sin α, а tg α на sin α / cos α = sin α / √.(1 - sin²α).
Получаем уравнение :
.
Решая это уравнение, получаем sin α = 0.6.
α = arc sin 0.6 =  0.643501 радиан = 36.8699 градусов.

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения О биссектрис этого треугольника.
Касательная АС к окружности перпендикулярна к радиусу ОК, проведенному в точку касания К.
Полупериметр ΔАВС р=(АВ+ВС+АС)/2=(5+8+9)/2=11
Площадь по ф.Герона S=√11(11-5)(11-8)(11-9)=6√11
Высота АВС ВН=2S/AC=2*6√11/9=4√11/3
Из прямоугольного ΔАВН АН=√АВ²-ВН²=√(25-176/9)=√49/9=7/3
Расстояние от К до прямой ВМ - это перпендикуляр ОК.
Значит прямоугольные ΔВНМ и ОКМ подобны по 2 углам (угол М - общий, углы ВНМ и ОКМ -прямые)
ВН/ОК=НМ/КМ
КМ=ОК*НМ/ВН
Радиус ОК=S/p=6√11/11=6/√11
По свойству биссектрисы АВ/АМ=ВС/МС
АМ=АВ*МС/ВС=5МС/8
АС=АМ+МС=5МС/8+МС=13МС/8
МС=8АС/13=8*9/13=72/13
АС=АН+НМ+МС=7/3+НМ+72/13=307/39+НМ
НМ=9-307/39=44/39
Итого КМ=6/√11*44/39 / 4√11/3=6/13