Так как задачи решаются аналогично, наметим план решения этих задач в общем виде:
В₁АDС₁ - данное сечение.
Проведем высоту ромба ВН. ВН - проекция наклонной В₁Н на плоскость основания, значит В₁Н⊥AD по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠В₁НВ - угол между плоскостью сечения и плоскостью основания (он дан в задачах).
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Из прямоугольного треугольника АОВ по теореме Пифагора найдем сторону ромба АВ:
АВ = √(АО² + ВО²)
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
Sabcd = 1/2 · AC · BD
или произведению стороны на проведенную к ней высоту:
Sabcd = AD · BH
BH = Sabcd / AD
Из прямоугольного треугольника В₁НВ найдем боковое ребро параллелепипеда, оно является высотой параллелепипеда:
tg∠B₁HB = BB₁ / BH
BB₁ = BH · tg∠B₁HB
Объем параллелепипеда:
V = Sосн · BB₁
7. ∠B₁HB = 45°, AC = 24, BD = 10.
AB = √(AO² + BO²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13
Sabcd = 1/2 · AC · BD = 1/2 · 24 · 10 = 120
BH = Sabcd / AD = 120 / 13
BB₁ = BH · tg 45° = 120/13 · 1 = 120/13
V = Sabcd · BB₁ = 120 · 120/13 = 14400/13
8. ∠B₁HB = 60°, AC = 16, BD = 12.
AB = √(AO² + BO²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10
Sabcd = 1/2 · AC · BD = 1/2 · 16 · 12 = 96
BH = Sabcd / AD = 96 / 10 = 9,6
BB₁ = BH · tg 60° = 9,6 · √3 = 9,6√3
V = Sabcd · BB₁ = 96 · 9,6√3 = 921,6√3
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна половине произведения суммы периметров её оснований и апофемы (высоты боковой грани).
S=(Р1+Р2)*А/2, где Р1 и Р2 - периметры, А - апофема (высота боковой грани правильной пирамиды)
Р1=4*8=32см - периметр нижнего основания.
Р2=4*6=24см - периметр верхнего основания пирамиды.
Найдем высоту боковой грани правильной пирамиды - апофему.
Основания усеченной пирамиды - квадраты. Центр квадрата - пересечение его диагоналей. Проведем из центров оснований перпендикуляры ОН и JP к соответственным сторонам оснований. Это расстояния от центра до боковой стороны.
Для нижнего основания оно равно 4см (половина стороны основания). Для верхнего основания - 3 см.
Опустим перпендикуляр РК из точки Р верхнего основания на нижнее основание. Получим равнобедренный прямоугольный треугольник НРК, так как <PHK = 45° (это данный нам угол наклона боковой грани к плоскости основания по определению).
В треугольнике НРК катеты равны разнице расстояний от центров оснований до боковых сторон, то есть 4-3 = 1см. тогда гипотенуза (апофемв) равна √2 см (по Пифагору).
Sбок =(32+24)*√2 /2 = 28√2 см².
