1. В равнобедренном треугольнике ABC напротив основания AC лежит угол, градусная мера которого равна 60. Найдите длину высоты, проведенной из вершины А, если длинна медианы, выходящей из вершины С, равна 4.

ΔOAH является равнобедренным, так как AO=OH, следовательно углы OHA и OAH равны. Поскольку угол OAH = углу QDH , то угол OHA = углу QDH/
OQDH является параллелограммом, так как:
  OQ параллельна HD (средняя линия и основание)
  OH параллельна QD (соответственные углы равны)

h-?
Обозначим точку касания стороны CD к окружности за F
BC=CF=1
Угол CQO = 75 градусам
Угол OFQ - прямой
Угол FOQ = 15 градусам
Угол BOQ = 75 градусам
Угол BOF = 60 градусам
Угол COF = 30 градусам
  ΔCOF - прямой. Катет CF лежит против угла в 30 градусов, следовательно гипотенуза OC равняется его удвоенному значению
OC=2
В треугольнике OCQ из вершины С проведем высоту в точку N.
Угол CON = 45 градусам
Треугольник OCN - прямой равнобедренный, следовательно CN=ON=
CN является высотой трапеции OBCQ, которая подобна трапеции ABCD 
BO/BA=CN/h

ответ: .

A) очень легко - OH II CD, потому что составляют равные углы с AD, так как трапеция равнобедренная по условию, а треугольник AOH равнобедренный, OA = OH = R; - радиус построенной окружности.
Понятно, что и OQ II AD, как средняя линия.
Теперь еще обозначения. K - точка касания окружности с CD, OK = R, разумеется. Далее, ∠BAD = α = 75°; ясно, что ∠OHA = ∠CDA = ∠CQO = α;
Основания я обозначу, как AD = a; BC = b = 1;
Кроме того, пусть прямая BN II CD, и точка N лежит на AD.
б) Ясно, что DN = b; кроме того, HN = AH, так как OH II BN и AO = OB;
AH = 2Rcos(α);
AD = AH + HN + ND
a = b + 4Rcos(α);
Из треугольника OKQ
OQ*sin(α) = R; но OQ - средняя линия трапеции
(a + b)*sin(α)/2 = R;
Окончательно
a = b + (a + b)*sin(2α);
a = b*(1 + sin(2α))/(1 - sin(2α));
Это - решение в общем виде.
Теперь, если подставить b = 1; sin(2α) = sin(150°) = 1/2;
получится AD = 3