Кінці відрізка мають координати A(9; 10; 12) і B(11; 8; 13). Знайдіть
довжину відрізка АВ.​

Перечерти мой рисунок.
Далее рассматриваем тр.-ник  ECD.В нём EC=CD(следовательно треугольник равнобедренный) и проведён диаметр EK.Нам нужно доказать,что он (EK) перпендикулярен CD.Для этого строим FC и FD,опять равнобедренный треугольник FCD,где FC=FD.Из равенства углов ECD=CDE и FCD=FDC получаем,что ECK=KDE.Выходит,что треугольник ECF и EDF равны по двум сторонам и двум углам между ними.Из этого следует,что угол CEK=DEK.
Теперь вернёмся к треугольнику ECD.В нём EK-биссектрисса,а значит и медиана.Отсюда следует,что CK=KD.Теорема доказана.

т.к AB не параллельна плоскости, значит будем считать, что плоскость провели через сторону AD и А является тупым углом ромба. Сторону ромба обозначим Ы.

из точки А на сторону BC опустим высоту AH. Поскольку острый угол ромба равен 45, AH = BH = Ы / sqrt(2)

ВС || a т.к BC || AD и AD принадлежит а.

Проекции точек B и H на плоскость а обозначим В' и H' соответственно.

т.к ВС || a, то BH || B'H' и вообще BHH'B является параллелограмом.

из прямоугольного треугольника АВВ' , где ВАВ' = 30 получаем B'A = Ы sqrt(3)/2

 

в прямоугольном треугольнике AB'H'  AH' = sqrt(AB' ^2 - B'H' ^2) = sqrt(3/4 - 1/2)Ы = Ы/2

плоскость треугольника AHH' перпендикулярна плоскости ромба и плоскости а, поэтому угол HAH' является углом между искомыми плоскостями

и равен arccos(AH' / AH) = arccos(Ы/2  : Ы/sqrt(2)) = arccos(1/sqrt(2)) = 45