Как найти углы в треугольнике если они не известны?

Построим произвольный прямоугольный треугольник АВС. Проведем из прямого угла АВС высоту ВД и медиану ВЕ.

Наибольшим углом данного треугольника будет ∠АВС=90 градусам.

Найдем наибольший ОСТРЫЙ угол данного треугольника:

По условию ∠ДВЕ=3 °.

Рассмотрим треугольник ВДЕ:

∠ВЕД=180-ВДЕ-ДВЕ=180-90-3=87 °.

∠ВЕА=180-ВЕД=180-87=93 °(как смежные углы).

Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы мы получаем два равнобедренных треугольника:

ВАЕ и ВСЕ

Рассмотрим треугольник ВАЕ:

так как АЕ=ВЕ то углы ВАЕ=АВЕ (углы при основании равнобедренного треугольника)

Значит ∠ВАЕ=(180-ВЕА)/2=(180-93)/2=43,5°

Рассмотрим треугольник ВСЕ:

так как СЕ=ВЕ то углы ВСЕ=СВЕ (углы при основании равнобедренного треугольника)

Значит ∠ВСЕ=(180-ВЕС)/2=(180-87)/2= 46,5°

43,5<46,5

А значит, наибольшим острым углом треугольника АВС является угол ВСА=46,5 градуса

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площадь треугольника/полупериметр.
Для того, чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его высоту. Проводим ее. Получается 2 равных прямоугольных треугольника(так как исходный треугольник равнобедренный и высота является так же и медианой). По теореме Пифагора, высота равна 169-25=144. Квадрат из 144=12. Площадь данного треугольника=(12*10)/2=60. Полупериметр данного треугольника=(13+13+10)/2=18. Следовательно, радиус окружности, вписанной в этот треугольник, = 60/18=10/3 или приблизительно 3,3