Медиана делит основание треугольника на две равные части.
В получившихся треугольниках по условию две равные стороны : сама медиана, как общая для обоих, и по половине основания. Поскольку их периметры равны, то и третья сторона - боковая - равна. Исходный треугольник - равнобедренный, что и требовалось доказать.
Пусть треугольник ABC, медиана BM
Согласно условия, периметры треугольников ABM и BMC равны.
Требуется доказать, что AB=BC
Доказательство:
1) Запишем равенство периметров треугольников: AB+BM+AM=BM+BC+MC (1)
2) Т.к. BM - медиана, то AM=MC (2)
3) Учитывая равенства (1) и (2), запишем: AB+BM+AM=BM+BC+AM
4) Сокращаем BM и AM в обеих частях равенства, получаем: AB=BC
Таким образом, исходный треугольник равнобедренный!
