Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - r.

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:

Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:

Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:

Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:

Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:

Подставим вместо а+b и с известные выражения:

Выполняем преобразования:

Возведем обе части в квадрат:

R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:

Домножаем на r:

Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)
ответ: 2Rr+r²

Для решения данной задачи воспользуемся такой теоремой:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам.

Тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами:

Исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты:

Так как площадь прямоугольного треугольника равна:

получаем

тогда

Получаем:

Зная, что площадь равна:

Получаем:

тогда получаем:

Прибавим с обеих сторон:

т.к Получаем:

так как

получаем:

Делим все на :

Откуда получаем:

ответ: