О - центр восьмиугольника ( он же - центр вписанной и описанной окружности) Пусть малая диагональ А1А3. Большая диагональ А1А5 проходит через центр и равна диаметру описанной окружности. А1А5 = 2R. На каждое ребро 8-ника опирается центральный угол, равный 360/8 = 45 гр. (данный угол в 135 градусов просто не нужен, достаточно сказать, что дан правильный 8=ник, и все углы получаются автоматически).
В тр-ке ОА1А3 проведем высоту ОМ. ОА1 = ОА3 = R, угол МОА1 = 45 гр.
МА1 = А1А3/2 = 21кор2 /2.
Тогда ОА1 = R = МА1/sin45 = 21
Значит большая диагональ: 2R = 42
ответ: 42.
АВС, из условия имеем АВ = с, ВС = с/2, АС = 3с/4.
Найдем cos C:
cosC = (a^2+b^2-c^2) / (2ab) = (9/16 + 1/4 - 1)/(2*3/8) = - 1/4
(угол С - тупой). Тогда sin C = кор(1-cos^2 C) = (кор15)/4
По теореме синусов найдем sin A:
sin A = (a/c)sin C = (кор15)/8
По свойству биссектрисы вн. угла тр-ка (СО - биссектриса):
АО/ОВ = АС/СВ = 2/3
АО+ОВ = с Тогда: АО = 3с/5, ОВ = 2с/5
Проведем ОМ перп АС, ОМ - искомый радиус полукруга.
Из пр.тр. АОМ:
r = AO*sin A = (3c/5)*(кор15)/8 = (3с*кор15)/40.
ответ: r = (3с*кор15)/40.
