B правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S все ребра которой равны 6, точка М - середина ребра BC, точка О - центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.
––––––––––––––––
Угол между плоскостями - это угол между прямыми, проведенными перпендикулярно к общей точке на линии пересечения этих плоскостей. АМ⊥ВС, и FM ⊥ ВС по т.о трех перпендикулярах. ОМF- искомый угол.
Треугольник ОМF- прямоугольный, т.к. высота SO пирамиды перпендикулярна ее основанию, значит, и любой прямой, проходящей через точку О.
Для ответа на вопрос задачи нужно найти стороны треугольника FMO.
О - центр вписанной (и описанной) в правильный треугольник окружности.
ОМ - радиус вписанной окружности
r=a/(2•√3)⇒
OM=[(6√3):2]:3
После сокращений получаем ОМ=√3
FO= 2/3 SO, т.к. SF:OF=1:2
SO найдем из ⊿ SOB
ВО - радиус описанной окружности и вдвое больше радиуса вписанной окружности:
ВО=2√3
SO=√( SB²-BO² )=√24 ⇒
FO=(√24):3•2 =[√(3•4•2)]:3•2 после сокращений получим
FO=(4√2):√3
tg FMO=FO:OM=(4√2):3, что по таблице соответсвует углу ≈ 62º3'
Соединяем точки О и А, затем проводим касательные, отмечаем точки В и С, соединяем их. Проводим линию от О до В. Продолжим сторону АВ до пересечерия с диаметром, проведенным перпендикулярно ОА. Отметим на пересечении точку М. Угол САВ равен 60, значит угол ОАМ 30 градусов, у нас прямоугольный треугольник с углом 30 градусов. Обозначим ОМ = х, значит АМ 2х, ОА по условию 6, по теореме пифагора находим ОМ и АМ. теперь у нас треугольник ОВМ, угол МОВ 30 градусов. Значит МВ - половина ОМ, также по теореме пифагора находим ОВ - радиус, получаем 3.
