Обозначим данные точки А, В и С. Эти три точки можно соединить одним единственным в фигуру из трех точек и трех отрезков. Т.е. в треугольник , для которого предлагается построить два подобных с коэффициентом подобия k=3 и k=0,5 ( См. рисунки вложения)
Продлим ВС и АС и с циркуля 3 раза отложим длину этих сторон. Получим СА1=3АС и СВ1=3ВС. Угол А1СВ1 получившегося треугольника равен углу ВСА ( вертикальные). Треугольники АВС и А1В1С подобны по пропорциональным сторонам и равному углу между ними. Аналогично строится треугольник А2СВ2, подобный треугольника АВС с k=0,5. Для этого сначала делим две стороны пополам деления отрезка пополам циркулем Вы, конечно, уже знаете).
На сторонах угла ВАС от А циркулем на АС и АВ откладываем равные отрезки АМ и АК. Соединим М и К. На произвольной прямой отмечаем т.А1 и чертим окружность радиусом, равным АК. Точку пересечения с взятой прямой отмечаем К1. От К1 на окружности циркулем отмечаем точку М1 так, что К1М1=КМ. Из центра А1 окружности поводим прямую А1М1. Угол, равный углу ВАС исходного треугольника, построен. На прямых А1М1 и А1К1 откладываем стороны нужной длины: А1С1=3АС и А1В1=3 ВС и соединяем их. Аналогично для треугольника с k=0,5 откладываем половины длин сторон АС и АВ треугольника АВС и соединяем их. Стороны построенных треугольников пропорциональны сторонам исходного, а углы между ними равны углу ∆ АВС.
Допустим, что наша трапеция АВСD, где АВ и СD это стороны прямоугольной трапеции. ВС - это меньшее основание, а АD - это большее основание трапеции. Угол А и угол В нашей трапеции прямые и равны 90°, поэтому сторона АВ является и высотой трапеции.
Средняя линия это КМ.
АВ =12см, СD=20 см, диагональ АС = 13 см.
Треугольник АВС - прямоугольный, угол В = 90°, АВ и ВС - это катеты, а АС - это гипотенуза.
По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому
АС²=АВ²+ВС²
ВС²=13²-12²
ВС²=169-144
ВС²=25
ВС=5см.
Опустим с вершины С нашей трапеции АВСD высоту СН на основание АD.
СН=АВ=12 см, поскольку это две высоты трапеции.
Рассмотрим треугольник СНD, он треугольный, угол Н равен 90°, СН и НD - это катеты, а СD - это гипотенуза.
По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому
СD²=CН²+НD²
20²=12²+НD²
400=144+НD²
НD²=400-144
НD²=256
НD=√256
НD=16см
Поскольку ВС и АD - это основания трапеции, значит они параллельны между собой. При этом АВ и СН это высоты трапеции, они тоже между собой параллельны, а поскольку высота на основание трапеции ложится под углом 90°, значит АВСН - это прямоугольник.
А поскольку АВСН - это прямоугольник, значит ВС=АН=5см.
АD= АН+НD=5+16=21 см.
Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований, значит
КМ= (ВС + АD)/2 = (5+21)/2=26/2=13 см.
ответ: Длина средней линии трапеции равна 13см
