Пусть наклонные проведены из точки А и пересекают плоскость в точках В и С. Перпендикуляр, опущенный их точки А на плоскость пересекает её в точке Д. Поскольку наклонные АС и АВ образуют одинаковые углы с перпендикуляром АД, то они равны между собой. Обозначим их АВ = АС = х.
Поскольку наклонные АС и АВ одинаковые, то и проекции их ДВ и ДС одинаковые и равны: ДВ =ДС = х·sin45° = x/√2
Плоскость, образованная наклонными пересекает плоскость по прямой ВС. треугольник АВС - равнобедренный, т.к. АВ = АС, имеет угол при вершине 60°, следовательно два другие угла равны (180° - 60°):2 = 60°. И тр-к АВС равносторонний. Тогда ВС = АВ = АС = х.
Применив к тр-ку ВДС теорему косинусов, найдём угол между проекциями ДВ и ДС, обозначив его α.
ВС² = ДВ² + ДС² - 2ДВ·ДС·cos α
x² = (x/√2)² + (x/√2)² - 2(x/√2)·(x/√2)·cos α
x² = 0.5x² + 0.5x² - 2·0.5x²·cos α
1 = 0.5 + 0.5 - cos α
cos α = 0
α = 90°
1.Из теоремы косинусов находим косинус угла между заданными сторонами x.
10^2 + 12^2 - 2*12*10*x = 34; x = 7/8;
Теперь найдем третью сторону
10^2 + 24^2 - 2*24*10*(7/8) = 256; то есть третья сторона 16.
ПОЛУпериметр треугольника со сторонами 10,16,24 равен 25.
Находим площадь по формуле Герона. 25 - 10 = 15, 25 - 16 = 9, 25 - 24 =1,
корень(25*15*9*1) = 15*корень(15); делим это на полупериметр 25, получаем радиус вписанной окружности r = 3*корень(15)/5.
2. x + y = 12;
x + z = 9;
z + y = 6;
x - y = 3; 2*x = 15, x = 7/2, y = 9/2, z = 3/2;
3. Здесь есть волшебное построение :)) надо провести через вершину меньшего основания прямую II диагонали, которая не содержит эту вершину, а соединяет две других. Большое основание тоже надо продолжить, пока эти прямые не пересекутся. Получится треугольник, у которого сторона, являющаяся продолжением большого основания трапеции, равна сумме оснований трапеции, а две другие стороны - диагонали трапеции. Поскольку нам задано, что это получился прямоугольный треугольник со сторонами 12 и 16, то гипотенуза этого треугольника 20 (тр-к подобен "египетскому" 3,4,5), а средняя линяя трапеции 10.
