В треугольнике MNK точки M1, N1 и K1 - середины сторон NK, MK и MN соответственно. ML - высота, угол MNK = 45, угол NMK = 120 а) Докажите, что точки M1, N1, K1, L лежат на одной окружности.
б)Найдите M1L, если NK=

Отрезок AC виден из точки B под данным углом - точка B лежит на некоторой данной дуге.

Задача Архимеда о половине ломаной:

Ломаная A-B-C вписана в дугу ADC, точка D - середина дуги. Докажем, что перпендикуляр DH, опущенный на больший отрезок AB, делит ломаную пополам.

Пусть AE=BC

DA=DC (стягивают равные дуги)

∠DAB=∠DCB (опираются на одну дугу)

△DAE=△DCB => DE=DB

△EDB - р/б, DH - высота и медиана, EH=HB

AE+EH=HB+BC

Теперь видно, что достаточно максимизировать отрезок AH.

В треугольнике ADH катет AH всегда меньше гипотенузы AD. Максимум достигается, когда точки H, D, B совпадают.

То есть, когда B - середина дуги, BA=BC.

Площадь треугольника ABC равна 54 см в квадрате. На стороне AB обозначили точки D и E так, что AD=DE=BE, а на стороне AC - точки M и N так, что AM=MN=NC. Найдите площадь четырехугольника BCNE.

Решение.

Т.к AD=DE=BE и AM=MN=NC  , то  

ΔAEN~ ΔABC по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними : ∠А-общий,  АЕ:АВ=AN:АС=2:3.

Коэффициент подобия к=2/3 .

Отношение площадей подобных треугольников равно к² ⇒

S(AEN):S(ABC)=4:9 или  S(AEN):54=4:9  , S(AEN)=24 см²

S(BCNE)=S(ABC) -S(AEN)=54-24=30 ( см²).