Знайти довжину медіана CK, трикутника CMD якщо CM=8 см, MD=4 см, кутM=60°​

Пусть расстояние от точки М до прямой АС - перпендикуляр МК=10, а расстояние от точки М до прямой АВ - перпендикуляр МН.
По свойству угла между касательной и хордой
<BAM равен половине дуги, заключенной между касательной АВ и хордой АМ.
<BAC равен половине дуги, заключенной между касательной АВ и хордой АС. Дуги АМ и МС равны (дано)
Значит АМ - биссектриса <BAC и прямоугольные треугольники НАМ и КАМ равны по острому углу и общей гипотенузе АМ. Из этого равенства катеты МН и МК равны.
ответ: искомое расстояние МН=10.

Соединим точки А и В диаметра друг с другом, а также точку О с точками  L и N. Опустим перпендикуляр ОК из точки О на касательную LN. Обозначим угол ВNО = al, а угол АLO = be.

Тр-ки ОNB и ОКВ равны, т.к. они прямоугольные (уг. OBN = уг. ОКN = 90гр.), у них общая гипотенуза ОN, а катеты OB = ОК и равны радиусу окружности.

Тогда уг.ВNО = уг.КNО = al.

Аналогично для тр-ков ОAL и  ОКL:  уг.ALO = уг.КLО = be.

В тр-ке LON сумма углов уг.КLО + уг.КNO =  al + be, уг.LON =180 - (al + be)

Рассмотрим углы при точке О: уг. KON = 90-al,  уг.KOL = 90-be, а уг.LON =180 -( уг. NOB + уг.LOA) = 180-(90-al)-(90-be) = al + be.

Итак получили: уг.LON =180 - (al + be) и уг.LON = al + be.

180 - (al + be) = al + be и 2(al + be) = 180. Откуда al + be =90гр.

И уг.LON = al + be = 90гр., т.е. тр-к LON - прямоугольный.