Для эллипса, изображенного на рисунке точки A1,A2 --- вершины, F1,F2 --- фокусы, P,Q --- концы фокальной хорды, D1,D2 --- точки пересечения директрис с фокальной осью, O --- центр эллипса. Найдите эксцентриситет этого эллипса, если известно, что cosPD2Q=13/15.

Cм. рисунок и обозначения в приложении
По теореме косинусов
(2√3)²=6²+х²-2·6·х·cos 30°
12=36+x²-6√3·x=0
x²- 6√3·x+24=0
D=108-96=12
x=(6√3-2√3)/2=2√3     или    х=(6√3+2√3)/2=4√3

если х=2√3, то диагональ делит параллелограмм на два равнобедренных треугольника.
Углы параллелограмма 60° и 120°

если х=4√3
то по теореме косинусов ( α -  угол параллелограмма , лежащий против диагонали)
6²=(2√3)²+(4√3)²-2·2√3·4√3 ·cos α      ⇒     36=12+48-48·cosα⇒

cosα=0,5     

α=60°
второй угол параллелограмма 120°
см. рисунок 2
ответ 120° и 60° 

даны координаты вершин треугольника авс: а(0; -10),в(-12; -1),с(4; 12).найти:

1. длину стороны ав:

ав (с) = √((хв-ха)²+(ув-уа)²) = √225 = 15.

2. уравнение сторон ав и ас:

ав : х-ха = у-уа                           х             =             у + 10

хв-ха               ув-уа                       -12                             9

9х = -12у -120     сократим на 3 и перенесём налево:

3х + 4у + 40 = 0.

у(ав) = -0,75х - 10.

ас : х-ха = у-уа

хс-ха   ус-уа

      11х - 2у - 20 = 0

        у = 5,5х - 10

3. величину угла а:

cos a= ав²+ас²-вс²   = 0,4472136.  

            2*ав*ас    

  a = 1,107149 радиан.

  a = 63,434949 градусов.

4. уравнение высоты cd и ее длину.

к(сд) = -1/к(ав) = -1/(-0,75) = 4/3.

у = (4/3)х + в. для определения "в" подставим координаты точки с:

12 = (4/3)*4 + в,   в = 12 - (16/3) = 20/3.

уравнение сд: у = (4/3)х + (20/3).

длину сд можно определить двумя способами: сд = 2s/ab и по координатам точек с и д.

приравниваем уравнения ав и сд:   -0,75х - 10 = (4/3)х + (20/3),

(-25/12)х = (20/3) + 10 = 50/3,

х = (50/3)/(-25/12) = (-600/75) = -8,

у = (-3/4)*(-8) - 10 = 6 - 10 = -4.     точка d: (-8; -4).

длина сд = √((-8-4)² + (-4-12)²) = √(144 + 256) = √400 = 20.

5. уравнение медианы ве.

точка е как середина ас: (2; 1).

ве:     х-хв = у-ув                     х + 12         =         у + 1

        хе-хв             уе-ув                         14                       2

знаменатели сократим на 2: х + 12 = 7у + 7.

общее уравнение ве: х - 7у + 5 = 0,

с угловым коэффициентом: у = (1/7)х + (5/7).      

6. координаты точки к пересечения медианы ве и высоты cd.

(1/7)х + (5/7) = (4/3)х + (20/3),

(-25/21)х = (125/21)

х = -125/25 = -5,   у = (1/7)*(-5) + (5/7) = 0.   точка к: (-5; 0).

7. уравнение прямой кр, проходящей через точку к параллельно стороне ав.

угловой коэффициент равен -0,75.

уравнение кр: у = (-0,75)х + в. подставим координаты точки к(-5; 0):

0 = (-0,75)*(-5) + в,   в =   - (15/4) = -3,75.

у = (-0,75)х - 3,75.

8. координаты точки м, расположенной симметрично точке а относительно прямой cd.

так как cd - перпендикуляр к прямой ав, то точка d(-8; -4) - это та точка, относительно которой требуется найти точку, симметричной точке а.

xm = 2xd - xa = 2*(-8) - 0 = -16,

ym =2yd - ya = 2*(-4) - (-10) = -8 + 10 = 2.

точка м(-16, 2).

объяснение: