При очередном праздновании их общего дня рождения муж заметил, что сейчас ему втрое больше лет, чем было его жене тогда, когда ему было столько лет, сколько жене сейчас. А когда ей будет столько лет, сколько ему теперь, им обоим вместе будет 77 лет. Сколько лет мужу сейчас?​

В прямоугольный ΔАВС, ∠С=90 вписан круг .Биссектриса ∠А делит катет в отношении CD:DB=3:5. Найдите площадь круга

Решение Площадь круга S= πr² .Радиус вписанной окружности найдем из формулы S=1/2*P*r .

1) Тк " биссектриса  угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника" , то CD:СА=ВD:АВ или 3:СА=5:АВ  ⇒ , а это по определению sinB .

2) По основному тригонометрическому тождеству

sin²B+cos²B=1  получаем  cosB=√(1- )=

3) cosB=  или ⇒ AB=10.

По т Пифагора АС=√(АВ²-ВС²)=√(100-64)=6

4)  S=1/2*P*r

1/2*BC*AC=1/2*(AB+BC+AC)*r

1/2*8*6=1/2*24*r ⇒ r=2 ед

S(круга)=π*2²=4π (ед²)

В треугольнике: катеты а и b, гипотенуза  с, прямой угол С,
R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.
Начнём с описанной окружности. Поскольку  угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R
Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r.
Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны
 (а - r) и (b - r).
Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r).
Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r.
Но ранее мы получили, что с = 2R
Тогда 2R = a + b - 2r
2R + 2r = a + b
R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.