У трикутнику ABC ∠A = ∠C. На сторонах АВ і ВС від­кладено рівні відрізки AM і СК відповідно. Знайдіть довжину відрізка АК, якщо CM = 14 см.

Пусть одна из трех равных частей равна х, тогда диагональ равна 3х. 

вторая сторона равна по теореме Пифагора  корень((3x)^2-(корень(2))^2)==корень(9x^2-2) 

высота треугольника, стороны которого стороны прямогоульника и диагональ

равна по теореме Пифагора

корень((корень(2))^2-x^2)=корень(2-x^2) 

площадь прямоугольника равна

2* 1/2* 3х* корень(2-x^2) (сумма двух равных реугольников, площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание(в данном случае это диагональ прямоугольника))

или корень(2)*корень(9x^2-2)

составляем уравнение

 корень(2)*корень(9x^2-2)=2* 1/2* 3х* корень(2-x^2)

3х* корень(2-x^2)=корень(2)*корень(9x^2-2)

9x^2*(2-x^2)=2*(9x^2-2)18x^2-9x^4=18x^2-4

9x^4=4
x^4=4/9
x=корень(2/3)
3x=3*корень(2/3)=корень(6)

Для нахождения площади этого треугольника можно применить две формулы:
1)S=a•h:2, где а - сторона, h- высота, которая к ней проведена. 
Пусть ∠А=30°
Тогда высота ВН, как катет прямоугольного треугольника ВНА, противолежащий этому углу, равна половине АВ. 
ВН=4,5⇒
S=12•4,5:2=27 см²
или,
если провести высоту СН1 к стороне АВ ( тогда она пересечется с продолжением АВ)
СН1=АС:2=6
S=AB•CH1:2=9•6:2=27см²
––––––––––
2) S= 0,5•a•b•sinα, где a и b - стороны треугольника. α- угол между ними
S (ABC)=0,5•AB•AC•sin30º
S=0,5•9•12=27см²