Точка M, равноудалена от вершин треугольника ABC, поэтому она лежит на перпендикуляре к (ABC), который восстановлен из центра (O) описанной около ΔABC окружности. Треугольник со сторонами 6, 8, 10 является египетским (10²=6²+8²), поэтому ∠B=90°, а значит центр описанной лежит на середине AC. И её радиус равен AC:2=10:2=5.
Как было сказано ранее MO⊥(ABC).
Рассмотри прямоугольный ΔAOM (∠O=90°): AO=5; AM=13. Найдём второй катет MO (расстояние от M до α) по теореме Пифагора (хотя тут опять Пифагорова тройка 5, 12, 13).
MO=√(13²-5²) = √((13+5)(13-5)) = √(18·8) = √(3²·4²) = 12
ответ: 12.
3.1. Пусть h - общий перпендикуляр двух данных прямых, падающий
на плоскость β (h и есть расстояние от К до β), x - 4 - меньшая прямая,
х - большая. Тогда по теореме Пифагора: h² + 10² = (x - 4)² (1) и
h² + 18² = x² ⇒ x² - h² = 18². Из (1) находим: h² + 10² = x² - 8х + 16 ⇒
x² - h² = 100 + 8х - 16 ⇒ 18² = 8х + 84 ⇒ 8х = 324 - 84 = 240 ⇒
х = 240/8 = 30, х - 4 = 26 см ⇒ h² = 30²- 18² ⇒ h = √(30-18) · √(30+18) = √12·√48 = 2·12 = 24 см
1. ответ: 26
2. ответ: 24
4.1. A₂M = 25 - 10 = 15, Δ MB₁A₁ ≅ (подобен) Δ MB₂A₂ по трем углам ⇒ A₂B₂/A₁B₁ = A₁M/A₂M ⇒ A₂B₂/6 = 15/10 ⇒ A₂B₂ = 6·15/10 = 90/10 = 9 см
ответ: 9
4.2. Для правильного Δ со стороной а = 12√3 радиус описанной окружности равен: R = a/√3 = 12√3/√3 = 12 ⇒ По теореме Пифагора:
Н² + R² = 13², где Н - искомое расстояние до плоскости ΔАВС ⇒
Н² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25 ⇒ Н = √25 = 5 см
ответ: 5
