S = 675√3 см².
Объяснение:
Задача: Перпендикуляры, проведенные с некоторой точки пространства S на все стороны правильного треугольника ABC, имеют одну и ту же длину. Другая точка пространства J, удалена от этих перпендикуляров и от плоскости треугольника на 10 см. Расстояние SJ между данными точками равно 26 см. Вычислить площадь треугольника.
Другими словами, в правильную треугольную пирамиду (основание - правильный треугольник АВС, апофемы - высоты боковых граней - равны, значит вершина S проецируется в центр О основания) вписана сфера радиуса R = 10 cм, с центром в точке J, отстоящим от вершины S на 26 см.
В прямоугольном треугольнике SKJ по Пифагору найдем катет SK = √(SJ²-JK²) = √(26²-10²) = 24 см.
Прямоугольные треугольники SKJ и SOH подобны по острому углу OSH - общий. SO = SJ + JO = 26+10 = 36 см. Из подобия имеем:
SO/SK = OH/JK.
OH = JK·SO/SK = 10·36/24 = 15 см.
Отметим, что ОН = (1/3)·АН так как точка О - центр правильного треугольника, точка пересечения его высот и медиан. Тогда АН = 15·3 = 45 см. Это высота треугольника АВС.
Тогда по известной формуле h = (√3/2)·a находим сторону треугольника.
а = 45·2/√3 = 30√3 см.
Площадь правильного треугольника равна S = (√3/4)·a².
S = (√3/4)·(30√3)² = 2700·√3/4 = 675√3 см².
Cоставим сначала уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и точку М(5,3,2).
Так как ось ОУ принадлежит искомой плоскости α, то любая точка, лежащая на оси ОУ, принадлежит плоскости α . В том числе и начало координат, точка О(0,0,0) ∈α .
Так как точка М(5,3,2)∈α , то и вектор ОМ∈α . Координаты вектора ОМ=(5,3,2) .
Также единичный вектор оси ОУ, вектор j=(0,1,0) , принадлежит плоскости α .
Можем записать нормальный вектор искомой плоскости α как векторное произведение векторов ОМ и j .
![\vec{n}=\Big [\, \overline {OM}\, ,\; \vec{j}\, \Big ]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\5&3&2\\0&1&0\end{array}\right|=-2\vec{i}+5\vec{k}\\\\\\\lambda =-1\; \; \Rightarrow \; \; \; \; \vec{n}_1=\lambda \vec{n}=(2,0,-5)\\\\\alpha :\; \; A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\\\\2\cdot (x-5)+0\cdot (y-3)-5\cdot (z-2)=0\\\\\boxed {\alpha :\; \; 2x-5z=0}](/tpl/images/1007/7246/0300b.png)
Общие уравнения прямой, образованной пересечением двух заданных плоскостей имеют вид:
