відрізок MA перпендикулярний до площини прямокутника ABCD . AD=12 см, AB= 5 см, MC=26 см. Знайдіть кут між прямою MC і площиною ABC

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.

Отрезок BC виден из точек С1 и B1 под прямым углом - точки B, C1, B1, C лежат на окружности c центром в середине BC.

B1BC1 =C1CB1

A1BC1H, A1CB1H - вписанные четырехугольники (т.к. противоположные углы прямые).

HA1C1 =HBC1, HA1B1=HCB1 => HA1C1=HA1B1

(т.е. высота AA1 треугольника ABC является биссектрисой угла A1 ортотреугольника A1B1C1)

∪B1C1 =2B1BC1 =A1 =44  

Если треугольник остроугольный, найдем BAC как угол между секущими:

BAC =∪BC/2 -∪B1C1/2 =90-22 =68

Если треугольник тупоугольный - рассмотрим △HBC - найдем BHC как угол между хордами:

BHC =∪BC/2 +∪B1C1/2 =90+22 =112  

---------------------------------

М - середина BC. B1MC1 =∪B1C1 (центральный угол) =A1, т.е. M лежит на описанной окружности △A1B1C1.

Аналогично для всех середин сторон △ABC и середин сторон △AHB, △BHC, △AHC (для этих треугольников △A1B1C1 является ортотреугольником).

Описанная окружность ортотреугольника называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера (основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершины лежат на одной окружности).