Дана трапеция ABCD, AD=3, ∠С=120°, прямые ВС и CD являются касательными к окружности, описанной около треугольника ABD. Найти Площадь этого треугольника.

Пусть треугольник ABC.По теореме  о равенстве отрезков касательных  получим
MB=BK  KC=PC   AP=AM  откуда  следует равенства углов:APM=AMP    BMK=BKM    СKM=CPK(в силу равнобедренности треугольников)  обозначит   тогда  тк сумма углов треугольника 180   угол  AMP=(180-A)/2    BMP=(180-B)/2  тк  угол AB развернутый  PMK=180-((180-B)/2 + (180-A)/2)=180-(360-(A+B))/2=   180-(180-(A+B)/2=(A+B)/2   по  анологии  все остальные   углы равны  ((A+C)/2    (B+C)/2  тогда  получим систему
(A+B)=52*2=104  вычетая  2 из  1  получим  С-B=112-104=8  и складывая c  3  
(A+C)=56*2=112    2C=8+144=152  C=76    A=112-76=36   B=104-A=104-36=68       
(B+С)=72*2=144     ответ:68,36,76

Пусть ∠М = 52°, ∠К = 72° и ∠Р = 56°.
Это вписанные углы. Соответствующие центральные углы, опирающиеся на те же дуги, в 2 раза больше. Значит,
∠КОР = 2∠М = 104°,
∠МОР = 2∠К = 144°
∠МОК = 2∠Р = 112°
ОМ, ОР, ОК перпендикулярны сторонам треугольника АВС как радиусы, проведенные в точки касания.
В четырехугольнике АМОР:
∠АМО = ∠АРО = 90°, значит, ∠МАР = 180° - ∠МОР = 180° - 144° = 36°
(сумма углов четырехугольника равна 360°)
Аналогично,
∠МВК = 180° - ∠МОК = 180° - 112° = 68°
∠КСР = 180° - ∠КОР = 180° - 104° = 76°
Углы ΔАВС:
∠А =36°
∠В = 68
∠С = 76°