В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC, =, =, =√. Докажите, что углы BAC и DBC равны.

Медианы ЕN и FM треугольника EFK, длины которых 12 и 18, пересекаются под прямым углом. Найдите площадь Треугольника EFK.

Объяснение:

1)   Рассмотрим  выпуклый четырёхугольник  EFNM  у которого диагонали , по условию, взаимно- перпендикулярны .

Его площадь  можно найти по формуле S = 1/2*d₁*d₂* sin (∠d₁d₂).

S(EFNM) = 1/2*12*18* sin 90°=108 ( ед²).

2)  S(EFK)=S(EFNM)+S(MNK)

3)   MN-средняя линия , тк M,N-середины сторон по определению медианы . По т. о средней линии треугольника MN║EF .

ΔEFK ∼ΔMNK  по 2-м углам : ∠К -общий ,∠FEK=∠NMK как соответственные при MN║EF ,секущей ЕК ⇒ сходственные стороны

пропорциональны   ,   k= . По т об отношении площадей

подобных треугольников    или   ,

4*S( MNK)=S(MNK)+S(EFNM) ,

3(MNK)=108 ,  S(MNK)=36 ед².

4)  S(EFK)=S(EFNM)+S(MNK) =108+36=144 ( ед²).

Нужно делить на СООТВЕТСТВУЮЩУЮ сторону треугольника. Если дано, что треугольники АВС и ОРТ, подобны, то вначале надо определить какие стороны являются соответствующими (и то же самое с углами: соответствующие углы у подобных треугольников равны). Как правило в учебниках, при записи подобных треугольников соответствие определяется по положению буквы в записи треугольника. Хотя, в новых учебниках это явно не сказано. Например, если сказано, что треугольники АВС и ОРТ подобны, то подразумевается, что угол А равен углу О, угол В равен Р, и С равен Т. И тогда стороне АВ соответствует  сторона ОР, стороне ВС соответствует РТ и стороне АС соответствует OТ. Т.е. при такой записи, будет AB/OP=BC/PT=AC/OT. И в вашей задаче, если AB=8, то чтобы определить коэффициент подобия, надо знать длину именно ОР. И если сказано, что она 4, то да, треугольник ABC подобен треугольнику ОРТ с коэффициентом подобия 2.