3. Дан треугольник DEF. D(-4; 2), E(2;– 4), F (12; 6). Найти: 1) определить вид треугольника, 2) найти eгo площадь, периметр, 3) угол ЕDF
4) уравнение прямой DF 5) уравнение прямой, содержащей медиану DM 6)
координаты точки пересечения медиан K, 7) длину биссектрисы ЕT 8) длину высоты
ЕН; 9) длину окружности, описанной около треугольника DEF: 10ј площадь круга.
вписанного в треугольник DEF: 11) скалярное произведение векторов DEF. 12)
уравнение прямой, проходящей через вершину B параллельно прямой, содержащей
самую на маленькую сторону треугольника у​

Дан куб с ребром равный 1. Найти угол между прямыми DA1 и BD1

ВD1 - диагональ куба. DА1 - диагональ его грани. 

Проведем через середину диагонали куба  прямую, параллельную DА1 и пересекающую ребра А1В1 и DС. Оба отрезка пересекутся в центре куба О и делятся им пополам. 

Стороны четырехугольника МD1М1В равны, т.к. являются гипотенузами треугольников с равными катетами, следовательно, этот четырехугольник - ромб, и его диагонали М1М и ВD1 пересекаются под углом 90º

Найти угол между МО и ВО можно и из ∆ ВОМ по т.косинусов. 

ВМ²=МО²+ВО² - 2МО•BO•cos∠BOM

cos∠BOM=(ВМ²-МО²+ВО²):(- 2МО•BO) 

МО=половине диагонали грани, 

ВО - половине диагонали куба. 

Вычислить длины сторон ∆МОВ не составит труда. Результат решения уравнения - косинус угла ВОМ=0, и это косинус 90º

Обозначим точку касания как К. Соединим К с центром О. ОК - радиус окружности и перпендикулярен касательной по определению. Более того, он проходит через середину хорды АВ и перпендикулярен ей.
Доказательство: АВ параллельно касательной К, следовательно ОК перпендикулярно АВ, поскольку перпендикулярно касательной. Соединим О с концами хорды АВ и получим равнобедренный треугольник АВО, в котором высота ОК является одновременно и медианой, т.е хорда АВ делится пополам.
Следовательно отрезок соединяющий точку касания и точку пересечения хорды с радиусом ОК является искомым расстоянием. Обозначим точку пересечения хорды АВ с радиусом ОК через D. Тогда нам надо найти отрезок КD.
Рассмотрим треугольник АОD. Он прямоугольный. АО - гипотенуза и равна 65 по условию, т.к. она радиус. АD - катет и равен половине АВ, т.е. 63.
 Далее по теореме Пифагора находим второй катет - АО.
И находим расстояние. Это будет ОК-АО.