Найдите площадь треугольника по двум его сторонам a и b и углу a между ними: 1) а = 2 см, b = 3 см, а = 30°
2) а = 2√2dm, b = 5√dm, a = 45°
3) a = 2 м, b = √3 м, а = 90°
4) а = 0,4 см, b = 0,8 см, а = 60°

​

Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.

Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок).
Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.

Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.

ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.

Свойство, сторона лежащая против угла в 30 градусов, равна половине гипотенузе, гипотенуза это сторона лежащая против прямого угла.
Выводится через синус, так как синус в прямоугольном треугольнике равен противо положенному катету на гипотенузу => гипотенуза нам известна, синус угла 30 градусов, это 1/2, получается простейшее уравнение. Гипотену множим на синус 30, то есть 1/2 и получаем 20.
Это если выводить. Можете сначала сказать обычное решение, а потом объяснить св-во. Учитель, как я думаю, будет удивлен.