Із точки А до площини альфа провели перпендикуляр АН та похилі АВ і АС,які утворюють із площиною відповідно кути 45 градусів і 60. Знайдіть відрізок Ав,якщо АС=4√3 см. З поясненням.

Из точки А к плоскости альфа провели перпендикуляр АН и наклонные АВ и АС, которые образуют с плоскостью соответственно углы 45 градусов и 60. Найдите отрезок АВ, если АС = 4√3 см.

С объяснением.

А). Рассмотрим треугольники АМР и СКР. Они равны по второму признаку равенства: сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника:
- АМ=СК по условию;
- углы А и С равны как углы при основании равнобедренного треугольника АВС;
- углы АМР и СКР равны по условию.
У равных треугольников АМР и СКР равны соответственные стороны МР и КР.

б).  Рассмотрим треугольник МРК. Он равнобедренный (МР=КР как было доказано выше). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Т.е. <KMP=<MKP. 

Рассмотрим треугольник АСЕ. Здесь ОК - средняя линия треугольника, т.к. соединяет середины сторон. Докажем, что это действительно так: 
- СК=ЕК по условию, т.к. МК - средняя линия трапеции;
- СО=АО. Используем теорему Фалеса: если на одной из двух прямых (у нас это прямая СЕ) отложить последовательно несколько равных отрезков (в нашем случае это отрезки СК и ЕК) и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую (здесь такими параллельными прямыми являются МК и АЕ, которые пересекают прямую АС), то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки (в нашем случае такими равными отрезками будут являться АО и СО). 
Поскольку ОК - средняя линия треугольника АСЕ, то
OK II AE, OK=1/2AE
OK=1/2*16=8.