решить по второму и третьему признаку подобия треугольников

Докажем, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, то этот треугольник — прямоугольный.

Утверждение.

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол напротив этой стороны равен 90º.

Дано:

∆ABC,

CO — медиана,

CO=1/2 AB

Доказать: ∠ACB=90º.

Доказательство.

1) Так как CO — медиана треугольникаABC и CO=1/2 AB (по условию), то CO=AO=BO.

Поэтому, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC,

треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по определению равнобедренного треугольника).

2) Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны,
∠OAC=∠OCA,

∠OBC=∠OCB.

Пусть ∠OAC=OCA=φ.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике AOC

∠AOC=180º-(∠OAC+∠OCA)=180º-2φ.

3) ∠AOC+∠BOC=180º (как смежные).

Поэтому, ∠BOC=180º-∠AOC=180º-(180º-2φ)=180º-180º+2φ=2φ.

4) В треугольнике BOC

∠OBC=∠OCB=(180º-∠BOC):2=(180º-2φ):2=90º-φ.

5) ∠ACB=∠OCB+∠OCA=90º-φ+φ=90º.

Что и требовалось доказать.

Раз периметр ромба равен 16 см, то каждая его сторона равна 16:4=4 см. Точкой пересечения диагоналей получаем прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является сторона ромба, равная 4 см, а также катет, равный половине данной длины нашей диагонали, т.е. один из катетов равен 3√4:2=6:2=3.
По теореме Пифагора находим второй катет: 4^2-3^2=7. Второй катет равен √7.
Тут по таблице Брадиса я только примерно могу назвать градусную меру углов.
Возьмём синус угла, напротив которого лежит половина нашей диагонали. Он будет равен 3:4=0,75. Градусная мера угла(примерно!) равна 49 градусов.
Тогда градусная мера другого угла примерно будет равна 180-90-49=41 градус.
Т.к. проведённые диагонали ромба являются и биссектрисами его углов, то градусная мера двух углов будет равна 98-ми градусам(лежащим напротив друг друга), а градусная мера других двух углов будет равна 82 градусам.
Чтобы удостовериться, что данные расчёты в теории правильны, сложим эти углы(должно получиться 360 градусов)=82^2+98^2=360.
ответ:Градусная мера острых углов ромба равна 82-ум градусам, а тупых 98-ми.