Есть несколько решений данной задачи, но я покажу один.
Угол KPE=30°(развёрнутый угол(180°)-внешний угол(150°)).
Из треугольник KPE найдём угол KEP. Он равен 60°, так как сумма углов любого треугольника равна 180°, угол KPE=30°, угол PKE - прямой(90°). В треугольнике KCE найдём угол CKE. Он равен 30°(180°-90°-60°).
Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
Следовательно, CE=½KE=½×10=5см.
В треугольник PKE угол KPE=30°, значит, KE=½PE. PE=2×10=20см.
PC=20-5=15см.
ответ:PC=15см; CE=5см.
Доказательство в объяснении.
Объяснение:
Дан треугольник АВС с основанием АС и высотой h, проведенной к основанию. Стороны треугольника
АВ = "с", ВС = "а".
Пусть основание делится высотой на отрезки, равные x и y, считая от вершины А.
Тогда из прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный треугольник, имеем:
x = c*cosa. y = a*cos2a.
c = h/sina. a = h/sin2a. cos2a = h/а. =>
x = h*cosa/sina. y = h*cos2a/sin2a.
x - y = h(cosa/sina - cos2a/sin2a).
Sin2a = 2sina·cosa. (формула двойного аргумента)
Cos2a = 1 - 2sin²а. (формула двойного аргумента) Тогда
cosa/sina - cos2a/sin2a =
(cosa·sin2a - cos2a·sina)/(sina·sin2a). =>
sina(2cos²а - cos2a)/(sina·cos2a)=(2cos²а - cos2a)/(cos2a).
(2cos²а - 1 + 2sin²а)/(cos2a) =
(2cos²а + 2sin²а - 1)/(cos2a) = 1/cos2a. =>
x - y = h/cos2a.
cos2a = h/а. =>
x - y = h/(h/а) = а.
Что и требовалось доказать.
