КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА No 3 ПО ТЕМЕ «ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ»
Рис. 1
А
B
Вариант 1
1. На рисунке 1 АВ || CD.
а) Докажите, что АО: ОС = ВО : OD.
б) Найдите AB, если OD = 15 см, OB = 9 см, CD = 25 см.
D
с
2. Найдите отношение площадей треугольников ABC и KMN, если AB = 8
см, вс = 12 см, AC = 16 см, КМ = 10 см, MN = 15 см, NK = 20 см.
3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в
точках МиК соответственно так, что МК || АC, BM:AM=1:4. Найдите
периметр треугольника ВМК? Найдите периметр треугольника BMK, если
периметр треугольника ABC равен 25 см.
4. *В трапеции ABCD (AD и BC - основания) диагонали пересекаются в
точке 0, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если
площадь треугольника AOD равна 45 см2.​

1. Дано: АВ || CD.
а) Мы знаем, что если две прямые параллельны, то соответствующие углы, образованные пересекаемыми прямыми и параллельными прямыми, равны между собой. В этом случае у нас есть два треугольника АОВ и СОD, в которых две пары углов равны.

Обозначим угол АОВ как α и угол СОD как β. Тогда можно сказать, что α = β, так как они соответственные углы при параллельных прямых АВ и CD.

Также у нас есть пары вертикальных углов, то есть угол АОВ равен углу ВОD.

Исходя из этих равенств углов, мы можем сделать вывод, что треугольники АОВ и СОD подобны.

Мы можем установить пропорциональное соотношение между их сторонами, используя свойство подобия треугольников, которое гласит: "Если два треугольника подобны, то отношение соответствующих сторон равно".

Из подобия треугольников АОВ и СОD, мы можем записать: АО : ОС = ВО : OD.

б) Теперь для нахождения значения AB, нам нужно знать значения OD, OB и CD.

OD = 15 см (дано)
OB = 9 см (дано)
CD = 25 см (дано)

Используя пропорцию, которую мы установили в пункте а, мы можем записать:

АО : ОС = ВО : OD

Подставляем известные значения:

АО : ОС = 9 : 15

Далее, чтобы найти AB, нам нужно найти значение АО. Для этого мы можем использовать теорему Талеса, которая гласит: "Если на двух параллельных прямых проведены перпендикуляры из одной точки на третью прямую, то отношение отрезков, образованных этими перпендикулярами, равно отношению отрезков параллельных прямых".

На диаграмме мы видим, что OD и AB являются перпендикулярами, проведенными из О на прямую CD. И ВО и АО являются параллельными прямыми.

Используя теорему Талеса, мы можем записать:

AB : OD = ВО : ОС

Подставляем известные значения:

AB : 15 = 9 : 15

Мы можем решить эту пропорцию, умножив каждую сторону на 15:

AB = (9 * 15) / 15

AB = 9 см

Таким образом, значение AB равно 9 см.

2. Дано: AB = 8 см, вс = 12 см, AC = 16 см, КМ = 10 см, MN = 15 см, NK = 20 см.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где S - площадь треугольника, а, b, c - длины его сторон, а p - полупериметр (p = (a + b + c) / 2).

Для нахождения отношения площадей треугольников ABC и KMN, мы должны найти площади каждого из них и затем разделить одну на другую.

Площадь треугольника ABC:
AB = 8 см (дано)
AC = 16 см (дано)
BC = вс = 12 см (дано)

Периметр треугольника ABC:
p_ABC = (AB + AC + BC) / 2

Подставляем известные значения:

p_ABC = (8 + 16 + 12) / 2
p_ABC = 36 / 2
p_ABC = 18

Площадь треугольника ABC:
S_ABC = √(p_ABC * (p_ABC - AB) * (p_ABC - AC) * (p_ABC - BC))

Подставляем известные значения:

S_ABC = √(18 * (18 - 8) * (18 - 16) * (18 - 12))
S_ABC = √(18 * 10 * 2 * 6)
S_ABC = √(2160)
S_ABC ≈ 46.57 см²

Площадь треугольника KMN:
KM = 10 см (дано)
KN = 20 см (дано)
MN = 15 см (дано)

Периметр треугольника KMN:
p_KMN = (KM + KN + MN) / 2

Подставляем известные значения:

p_KMN = (10 + 20 + 15) / 2
p_KMN = 45 / 2
p_KMN = 22.5

Площадь треугольника KMN:
S_KMN = √(p_KMN * (p_KMN - KM) * (p_KMN - KN) * (p_KMN - MN))

Подставляем известные значения:

S_KMN = √(22.5 * (22.5 - 10) * (22.5 - 20) * (22.5 - 15))
S_KMN = √(22.5 * 12.5 * 2.5 * 7.5)
S_KMN = √(10546.875)
S_KMN ≈ 102.68 см²

Теперь мы можем найти отношение площадей:

Отношение площадей треугольников ABC и KMN:
S_ABC / S_KMN = 46.57 / 102.68
S_ABC / S_KMN ≈ 0.45

Таким образом, отношение площадей треугольников ABC и KMN примерно равно 0.45.

3. Дано: стороны треугольника ABC равны 25 см. прямая МК || АC, BM:AM=1:4.

Для нахождения периметра треугольника ВМК, нам не хватает информации о длинах сторон треугольника ВМК.

Однако мы можем использовать информацию о соотношении BM:AM для нахождения периметра треугольника BMK.

Пусть BM = x, тогда AM = 4x.

Периметр треугольника BMK:
Периметр_BMK = BM + MK + KB

Мы уже знаем, что MK || AC и МКK соответствуют углы, значит, треугольники МКМ и АСМ подобны.

Из этого следует, что соотношение длин сторон треугольника МКМ и треугольника АСМ такое же, как BM : AM. Зная, что BM : AM = 1 : 4, мы можем сказать, что МК : AC = 1 : 4.

Таким образом, МК = AC / 4.
МК = AC / 4 = 25 / 4 = 6.25 см.

Теперь мы можем выразить длину КВ в терминах x и найти периметр треугольника BMK.

КВ = AC - АМ - МК = 25 - 4x - 6.25

Теперь мы можем записать периметр треугольника BMK:

Периметр_BMK = BM + MK + KB

Периметр_BMK = x + 6.25 + (25 - 4x - 6.25)

Периметр_BMK = 25 - 3x

Мы также знаем, что периметр треугольника ABC равен 25 см:

Периметр_ABC = AB + BC + AC = 25

Подставляем известные значения:

25 = 8 + BC + 16
1 = BC

Таким образом, длина стороны BC равна 1 см.

Теперь мы можем записать периметр треугольника BMK с использованием известных значений:

Периметр_BMK = 25 - 3x

Подставляем значение x:

Периметр_BMK = 25 - 3(1)
Периметр_BMK = 22 см

Таким образом, периметр треугольника BMK равен 22 см.

4. Дано: трапеция ABCD, AD = 12 см, ВС = 4 см, площадь треугольника AOD равна 45 см².

Чтобы найти площадь треугольника ВОС, нам нужно знать значения его основания (Высоту мы можем найти из данных о площади треугольника AOD).

Мы знаем, что площадь треугольника равна полупроизведению длины его основания на высоту, т.е. S = (a * h) / 2.

Подставляем известные значения:

45 = (ВС * h) / 2

Умножаем обе стороны уравнения на 2:

90 = ВС * h

h = 90 / ВС

h = 90 / 4

h = 22.5

Таким образом, высота треугольника ВОС равна 22.5 см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ВОС, используя формулу для площади треугольника:

S = (BC * h) / 2

Подставляем известные значения:

S = (4 * 22.5) / 2
S = 90 / 2
S = 45 см²

Таким образом, площадь треугольника ВОС равна 45 см².