2. В прямоугольник ABCD AB = 2, AD = 6, точка Е такова, что AE • AB = 6, AE. AD = -12.
а) Разложите вектор AE по векторам AB и AD,
б) Разложите вектор AB по векторам AE и AD.
в) Как расположены прямые AE и ВD?
3. В треугольник ABC (AB = 5, AC = 8, BC = 7) впи-
сана окружность, К — точка касания этой окружнос-
ти со стороной АС. Найдите:
а) разложение вектора ВС по векторам AB и AC;
б) скалярное произведение векторов AB и AC;
в) величину угла А;
г) длину вектора ВК;
д) разложение вектора ВК по векторам AB и AC.​

Найдем вектора, соответствующие сторонам этого треугольника:

AB = B-A = (1,4)

BC = C-B = (3,-3)

AC = C-A = (4,1)

Найдем длины векторов:

|AB| =  

|BC| =   

|AC| =    

Нетрудно видеть, что |AB| = |AC|

Следовательно треугольник равнобедренный.

Найдем скалярное произведение векторов и проверим, является ли треугольник прямоугольным:

AB*BC = (3-12) = -9

BC*AC = 12-3 = -9

AB*AC = 4+4 = 8

Скалярное произведение векторов ни в одном случае не равно нулю, следовательно треугольник не является прямоугольным.

ответ: Треугольник равнобедренный, равные стороны: AB = AC = 

1. Против угла 30° лежит катет в два раза меньше гипотенузы ⇒ ВС=10/2=5 ед.

2. ΔАВС равнобедренный (углы 90, 45 и 45). CD - высота, биссектриса и медиана проведенные из вершины равнобедренного, прямоугольного треугольника. Медиана, проведенная из прямого угла треугольника равна половине его гипотенузы. ⇒ АВ=8*2=16 ед.

3. ЕС - катет прямоугольного треугольника ЕВС лежащий против угла 30° ⇒ ЕВ=7*2=14. По т. Пифагора ВС=√(14²-7²)=√147. ВС  - катет прямоугольного треугольника АВС лежит против угла 30° ⇒АВ=2√147. По т. Пифагора АС=√((2*147)²-(√147)²)=21.

АЕ=АС - ЕС=21-7=14 ед.