Дано : угол 1 = угол 2, угол 3 в 2 раза меньше угла 4
найти: угол 3, угол 4​

Вектор АМ = (4-(-4); 2-4) = (8; -2).

Уравнение высоты АМ:

х + 4)/8 = (у - 4)/(-2), или в общем виде х + 4у - 12 = 0.

Сторона треугольника АС перпендикулярна этой высоте.

Коэффициенты в уравнении ВС меняются так: -В и А, то есть -4 и 1.

Уравнение АВС: -4х + у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки В:

-4*(-4) + (-12) + С = 0, отсюда С = 16 + 12 = 28.

Уравнение ВС: -4х + у + 28 = 0 или 4х - у - 28 = 0.

Так как сторона АС перпендикулярна высоте ВМ, у которой координаты точек по оси Ох совпадают, то АС - горизонтальная линия.

А так как она проходит через точку с ординатой у = 4, то это и есть уравнение стороны АС: у = 4.

Подставим у = 4 в уравнение ВС и найдём координату точки пересечения прямых, это точка С.

4х - 4 - 28 = 0, отсюда х = 32/4 = 8.

ответ: координаты точки С(8; 4).

1) Находим радиус вписанной окружности, а для этого по формуле Герона находим площадь: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
р = (6+7+5)/2 = 9
S = √(9(9-6)(9-7)(9-5)) =  √216  = 14.69693846
r = S / p =  14.69693846 / 9 =  1.63299316.
Так как треугольники подобны, то площади пропорциональны квадрату коэффициента пропорциональности.
Найдем высоту треугольника АВС:
Hb= 2S / b = 2*14.69693846 / 7 =  4.1991253.
Высота треугольника ВКМ меньше на 2 радиуса:
hb = Hb - 2r = 4.1991253 - 2*1.63299316 =  0.93313895
Коэффициент пропорциональности к = hb / Hb =  0.9331389 / 4.1991253 =  0.22222222,
к² =  0.04938272. 
Тогда S(BKM) = 14.69693846* 0.04938272 =  0.725774739 кв.ед.
А периметр равен Р(АВС)*к = (6+7+5)*0.22222222 =
= 18*0.22222222 = 4.
2) В этой задаче не улавливается зависимость между заданными площадями треугольников.
3) В этой задаче что то неверно в условии.
Если  диаметр , проходящий через вершину В, делит хорду KL пополам, то эта хорда перпендикулярна диаметру. При этом она не пересекает сторону ВС - смотри прилагаемый чертёж.