Задача на построение с анализом, построением, доказательством и исследованием 7 класс: Даны окружность w, точки A, B и отрезок MN. Построить треугольник ABC так, чтобы вершина C лежала на окружности w и AC = MN.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.

Внутренние углы треугольника в сумме дают 180 градусов.
Внешний угол любого внутреннего угла А равен 180 - А, то есть равен сумме двух других углов В + С.
Получаем такие равенства:
{ A + B + C = 180
{ B + C = 2x
{ A + C = 5x
{ A + B = 8x
Если сложить три последних равенства, то получим
2A + 2B + 2C = 2x + 5x + 8x
2(A + B + C) = 15x
2*180 = 15x
x = 24
2x = 48, 5x = 120, 8x = 192
Проверим, углы треугольника
A = 180 - (B + C) = 180 - 48 = 132
B = 180 - (A + C) = 180 - 120 = 60
C = 180 - (A + B) = 180 - 192 = -12
A + B + C = 132+60-12=180